彈性理論基礎

各向同性介質和各向異性介質

對彈性介質，如果沿不同方向測定的物理性質均相同，稱各向同性介質，否則是各向異性介質。

若介質的彈性性質不僅與測定方向無關，而且與座標位置無關，就稱為均勻介質； 非均勻介質中，介質的性質表現出成層性，稱這種介質為層狀介質；其中每一層是均勻介質；不同介質層的分界處稱界面（平面或曲面）；兩個界面之間的間隔稱為該層的厚度。

將速度v是空間連續變化函數的介質定義為連續介質。連續介質是層狀介質的一種極限情況。即當層狀介質的層數無限增加，每層厚度無限減小，層狀介質就過渡為連續介質，如 v=v0 (1+bz)叫線性連續介質。

只考慮單一相態的介質稱單相介質，由兩種相態組成例如一種是固相一種是流相的，稱為雙相介質。

應力：彈性體受力後產生的恢復原來形狀的內力稱內應力，簡稱為應力。 應力和外力相抗衡，阻止彈性體的形變。對於一個均勻各向同性的彈性圓柱體，設作用於s面上的法嚮應力為N，若力f在s面上均勻分佈，則應力pn定義為 Pn=f/s ，若外力f非均勻分佈，則可以取一小面元△S,作用於小面元上的力為△f，則應力定義為（lim(△f/△S)）。因此應力的數學定義為：單位橫截面上所產生的內聚力稱為內力。 根據力的分解定理，可以將力分解成垂直於單元面積的應力—法嚮應力（正應力）；相切於單元面積的應力—切向應力（剪切應力）。

應變：物理定義：彈性體受應力作用，產生的體積和形狀的變化稱為應變。只發生體積變化而形狀不變的應變稱正應變；反之，只發生形狀變化的應變稱切應變。數學定義：彈性理論中，將單位長度所產生的形變稱應變。 3.應力與應變的關係： 應力與應變成正比關係的物體叫完全彈性體，虎克定律表示了應力與應變之間的線性關係。對於一維彈性體，虎克定律為： F=kx； F: 外力； x: 形變； k: 彈性係數。對於三維彈性體，用廣義虎克定律表示應力與應變之間的關係。

1.楊氏彈性模量（E） 表示膨脹或壓縮情況下應力與應變的關係，所以又叫壓縮模量。數學定義：物體受脹縮力時應力與應變之比。物理定義：楊氏彈性模量表示固體對所受作用力的阻力的度量。固體介質對拉伸力的阻力越大，則楊氏彈性模量大，物體越不易變形；反過來説，堅硬的不易變形的物體，楊氏彈性模量大。

2.泊松比（s） 在拉伸變形中，物體的伸長總是伴隨着垂直方向的收縮，所以把介質橫向應變與縱向應變之比稱泊松比，顯然泊松比是表示物體變形性質的一個參數，如果介質堅硬，，在同樣作用力下，橫向應變小，泊松比就小，可小到0.05 。而對於軟的未膠結的土或流體，泊松比可高達0.45 —0.5。

3.體變模量（K） 設一物體，受到靜水柱壓力p 的作用，產生體積形變， △v/v, 其中v是物體的原體積， △v 是體積變化量。但形狀未發生變化。則在這種情況下的應力與應變的比稱為體變模量。體變模量表示物體的抗壓性質，有時也稱為抗壓縮係數，其倒數稱為壓縮係數。

4.剪切模量（μ） 指物體受剪切應力作用，併發生形狀變化，應力與應變之比。m是阻止剪切應變的度量。液體的μ=0，沒有抗剪切能力。

5. 拉梅常數（λ） 橫向拉應力與縱向應變之比。 以上五個彈性常數E, k ,s, λ ,λ,中的任一個，均可用其餘兩個常數表示。