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強大數定律

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第一條強大數定律(strong law of large numbers)是由波萊爾在1909年對伯努利試驗場合驗證的，給出了幾乎處處收斂的隨機變量列的性質。強大數定律主要包括波萊爾強大數定律、柯爾莫哥洛夫強大數定律等。 強大數定律首先由法國數學家Borel對於伯努利隨機變量的特殊情況進行證明，一般情形下的強大數定律的證明由俄國數學家柯爾莫哥洛夫(A.N.Kolmogorov)給出。
中文名
強大數定律
外文名
Strong Law of Large Numbers
提出者
波萊爾
提出時間
1909年
適用領域
概率論
應用學科
數學

目錄

  1. 1 基本介紹
  2. 2 弱大數定律和強大數定律的區別
  1. 3 幾種常見的強大數定律
  2. ▪ 波萊爾強大數定律
  1. ▪ 柯爾莫哥洛夫定理

強大數定律基本介紹

強大數定律可能是概率論中最廣為人知的結果，它表明了獨立同分布的隨機變量序列的均值以概率1收斂到分佈的均值 [1]  。
定理1 [強大數定律] 設
為一獨立同分布的隨機變量序列，其公共均值
有限．則下式以概率1成立：
即強大數定律可以表達為下式：
作為強大數定律的一個應用，設有一獨立重複試驗序列，令E為某一事件．P(E)為事件E發生的概率，又令
根據強大數定律，以概率1有
因為
表示在前n次試驗中事件E發生的次數，因此方程(1)説明事件E在前n次試驗中發生的頻率以概率1收斂到它的概率P(E)（關於定理的證明請參考相應書籍 [1]  ）。
可用圖1來説明強大數定律。圖1顯示了從一個[0，1]值域內的均勻分佈分別提取1，2，3，…，500個可隨機變量值，計算得到的樣本均值。該隨機分佈的期望值是0.5，隨着樣本數的增加，樣本均值收斂於期望值。
圖1強大數定律* 圖1強大數定律*

強大數定律弱大數定律和強大數定律的區別

弱大數定律表明對於足夠大的值n*，隨機變量
的值靠近
，但它不能保證對於所有的
，
仍停留在
附近，因此，
可以無限多次離開0(儘管出現較大偏離的頻率不會很高)。而強大數定律能保證這種情況不會發生，特別地，強大數定律表明下式以概率1成立：對任何
，
只能出現有限次 [1]  。

強大數定律幾種常見的強大數定律

強大數定律波萊爾強大數定律

定理2(波萊爾強大數定律) 設
相互獨立同分布，且
其中
，則
服從強大數定律。
在此定理中，若令
表示貝努利試驗中與第k次試驗相聯繫的隨機變量、則定理説明，
成立的概率為1。也就是説(
)這一事件的概率為0(當然還不能説
必然趨於p)，從而我們進一步得到了頻率“穩定於”概率這一事實，它比貝努利大數定律有更強的結果。

強大數定律柯爾莫哥洛夫定理

定理3(柯爾莫哥洛夫判別法)設
為一相互獨立的隨機變量序列，若
則服從強大數定律。
定理4(柯爾莫哥洛夫定理) 設
為相互獨立同分布的隨機序列，若
，則
服從強大數定律。
定理5 若
，則必有
。
參考資料
  • 1.    （美）SHELDON M.ROSS著；童行偉，梁寶生譯．概率論基礎教程=A FIRST COURSE IN PROBABILITY,NINTH EDITION：機械工業出版社，2014.01