貝努利試驗

假設我們進行一系列的實驗，這些實驗之間是與統計無關的，而且每個實驗僅有兩種可能的結果，設所有這些實驗取得兩個中的任一結果的概率都是一樣的。例如，當投擲一個硬幣時，那麼可能的結果就是頭像朝上和頭像朝下。在理想的情況下，如果這些實驗滿足所説的條件，我們就稱它為“貝努利實驗”。 ^[1]  這種實驗包含幾次獨立試驗，且每次試驗中只有兩種可能結果：成功或失敗；又被稱為二次實驗。 ^[2] 

重複進行n次獨立的貝努利試驗，這裏“重複”的意思是指各次試驗的條件是相同的，它意味着各次試驗中事件發生的概率保持不變，“獨立”的意思是指是指各次試驗的結果是相互獨立的，這種試驗所對應的數學模型成為貝努利概型。有時為了突出實驗次數n，也稱為n重貝努利試驗。

討論貝努力試驗最終的目的乃建立一模型，據此模型可求得當我們重複進行此種試驗時，兩種結果之一（成功或失敗）可能出現的次數。

當某種試驗連續且重複進行時，每一次重複的實驗稱為一個試驗。此外，一個試驗可能出現兩個結果，分別稱為成功（S）與失敗（F）。再次特別強調的是，此種試驗下只有兩種可能結果，但並非取其成功或失敗的字面上的意義。習慣上，將某研究中我們所關心的事件標記為成功（即使是一個悲慘的事件），例如，研究失業率的問題中，我們往往將失業的事件視為兩種結果之一的“成功”事件。 ^[2] 

我們做n次實驗。每次實驗能以概率p出現事件A或者以概率q=1-p出現與A對立的事件

，且這n次實驗的秸果是相互獨立的。我們指定數1代表事件A出現，數0代表事件

出現。在n次實驗中，事件4可能出現0，1，2，…，n次。以X=k表示在n次實驗中事件A恰好出現k次的事件，因此隨機變數X能取值k=0，1，2，…，n。

這個隨機數的概率函數可以表示如下：

因此二項分佈函數是

其中和是對於所有小於x的非負整數k來求的。 ^[3] 

如果我們把貝努利試驗中某種結果稱為成功或是失敗的，而且只是關心n次貝努利試驗中總的成果次數，而不關心它出現的次序，那麼在n次貝努利試驗中，k次成功可以有

種方式分佈。

如果每次成功的概率是p，那麼失敗的概率是q=1-p，出現k次成功的每一種方式的概率是

，而表示這種成功的分佈函數稱為“二項式分佈函數”。 ^[1] 

n次貝努利試驗中，每次成功的概率為p，失敗的概率為q=1-p，k次成功和n-k次失敗(0≤k≤n)的概率為： ^[1] 

假設進行n次貝努利試驗時，用n元組(a₁，a₂，a₃，…a_n)表示結果，其中a_i=S表示成功，a_i=F表示失敗，i=1，2，3，4，5，…，n。

由於n次試驗是獨立的，是由k次成功和n-k次失敗組成的，所以每個n次實驗結果的概率為

，而由S和F構成的包含k個S和n-k個F的n元組有個，所以k次成功和n-k次失敗(0≤k≤n)的概率為：

我們可以把成功概率為p，失敗概率為q=1-p的n次獨立的伯努利實驗中有k次成功和n-k次失敗的概率記為

，且有

。 ^[1] 

一個工廠希望生產的產品中次品只有10%，採用的質量控制方法是由在40個產品的一次採樣中計算次品的數目組成，經過400採樣後，所得結果如下：

“成功”應該算是找到一個次品，這裏我們計算每40個試驗中成功的次數，因為“成功”的概率為p=0.1，雖然我們不能期望每次都正好有10%的次品，但是，這個分佈符合二項式分佈：

雖然400是一個比較少的採樣數，但是實驗證明理論和實際符合得相當好，下表所示是實際的數據，和理論的數據相符合。 ^[1]