強不可達基數

在集合論中，如果不能通過基數算術的通常操作從較小的基數中獲得不可數的基數，那麼他就是不可達的。更準確地説，如果基數K不可數，那麼他就是強烈不可達的，它不是總和小於K，或者α

在集合論中，如果不能通過基數算術的通常操作從較小的基數中獲得不可數的基數，那麼他就是不可達的。更準確地説，如果基數K不可數，那麼他就是強烈不可達的，它不是總和小於K，或者

。 ^[1] 

術語“不可達基數”不是非常的明確。直到大約1950年，它一直都意味着“弱不可達基數”，但從那以後，它通常就意味着“強不可達基數”。如果它是一個正則弱基數，那麼不可數的基數就是弱不可達基數。它是強不可達的，或者僅僅只是可達的，如果它是一個正則強基數（等價於上面給出的定義）。一些作者不需要弱和強可達基數可數（在這種情況下

是強不可達的）。豪斯多夫（1908）引入了弱不可達基數，謝爾賓斯基和塔斯基（1930年）和Zermelo（1930年）引入了強不可達基數。

每個強不可達基數也是弱不可達的，因為每個強極限基數也是一個弱極限基數。如果廣義連續性假設成立，那麼當且僅當弱不可達時，基數是強不可達的。

是一個常規的強極限基數。假設公理的選擇，每個其他無窮基數是有規律的或（弱）限制的。然而，只有相當大的基數可以兩者都很弱，所以弱不可達。

當且僅當它是一個正則序數，而且它是正常的數字的極限時，序數是弱不可達基數。 （零，一和

是正則序數，而不是常規的數字的極限）弱不可達基數並且也具有強極限的基數是強不可達的。

假設存在強不可達基數有時以假設可以在格羅騰迪克宇宙中工作的形式來應用，這兩個想法是緊密相連的。

ZFC隱含着一個條件，只要κ是強不可達的，

就是ZFC的模型。而ZF意味着，只要κ弱不可達，Gödel宇宙

就是ZFC的一個模型。因此，ZF和“存在弱不可達基數”兩個條件意味着ZFC是一致的。因此，不可達基數是大基數的一種類型。

如果V是ZFC的標準模型，並且κ在V中是不可達的，那麼：

是策梅羅 - 弗蘭克爾集合論的預期模型之一；而

是門德爾森的馮·諾依曼 - 伯恩斯·戈德爾集合理論的預期模型之一，排除了總體選擇，通過替代和選擇來取代尺寸限制；而

是莫爾斯凱利集理論的預期模型之一。這裏

是X的

可定義子集。然而，為了使

成為ZF的標準模型，κ不需要是不可達的，甚至是基數，也可以參考下文。

假設V是ZFC的模型。 V中沒有強不可達的，或者將κ作為V中最小的強不可達，

是ZFC的標準模型，不包含強不可達的。因此，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性“沒有強不可達性”。類似地，V不包含弱不可達的，或者相對於V的任何標準子模型，將κ作為弱不可達的最小序數，則

是不包含弱不可達的ZFC的標準模型。所以ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“沒有弱不可達”。這表明ZFC不能證明不可達基數的存在，所以ZFC與不可達基數的不存在性是一致的。

ZFC是否與不可達基數的存在性是一致的這個問題更加微妙。前一段描述的證據表明，ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中沒有不可達基數“可以在ZFC中正式化。然而，假設ZFC是一致的，沒有證據表明ZFC的一致性意味着ZFC+的一致性，“ZFC”中有一個不可達基數“可以被形式化。這是從戈德爾的第二個不完全定理得出的，這表明如果ZFC+“有一個不可達基數”是一致的，那麼它就不能證明自己的一致性。因為ZFC+“有一個不可達基數”確實證明了ZFC的一致性，如果ZFC證明自己的一致性意味着ZFC+的一致性“有一個不可達基數”，那麼後一種理論將能夠證明自己的一致性，這是不可能的。

存在無法在ZFC中形式化的不可達基數的論據。Hrbacek和Jech（1999）提出的一個這樣的論證是，如果有一個更大的集合理論模型擴展了M，並且集合理論的特定模型M的所有序數的類本身將是一個不可達基數。 ^[2] 

在集合論中有許多重要的公理斷定某種滿足條件的類別的基數是存在的。在不可達的情況下，相應的公理指出，對於每個基數μ，存在嚴格大於μ<κ的不可達基數κ。因此，這個公理保證了一個不可達基數的存在（有時也被稱為不可達基數公理）。如果存在任何不可達基數的情況，則不可達主要公理從ZFC的公理是無法證明的。假設ZFC，不可達基數公理等同於格羅騰迪克和維迪爾的公理：每個集合都包含在格羅騰迪克適用公理中。ZFC的公理與適用公理（或等價於不可達基數公理）被表示為ZFCU（可能與ZFC混淆）。該公理有助於證明每個類別都具有適當的米田嵌入。

術語“α-不可達基數”是比較模糊的，不同的作者使用不同的不等式定義。一種定義是，基數κ被稱為α不可達，對於α任何基數，如果κ不可達，並且對於每個基數β<α，小於κ的β-不可達的集合在κ中是無界的（並且因此κ是正則的）。在這種情況下，0-不可達基數與強不可達基數是等價的。另一種定義是，如果κ是正則的，並且對於每個序數β<α，小於κ的β-弱不可達的集合在κ中是無界的，那麼κ被稱為α-弱不可達。在這種情況下，0-不可達基數是正則基數，1-弱不可達基數是弱不可達基數。

α-弱不可達基數也可以被描述為計數較低不可達函數的固定點。例如，用

表示第α個不可接近的基數，則

的固定點是1-弱不可達基數。那麼

是第α個不可接近的基數，

的固定點是（β+ 1）-不可達基數。

術語強不可達是比較模糊的，具有至少三個不相容的含義。許多作者使用它來表示強不可達的正則極限（1-不可達基數）。其他作者使用它來表示κ是不可達的。

術語α-強不可達基數也是不明確的。一些作者使用它來表示α不可達。其他作者使用的定義是，對於任何基數α，當且僅當κ是強不可達的時候，基數κ是α-強不可達的，並且對於每個基數β<α，小於κ的β強不可達的集合在κ中是無界的。

可以用相似的方式定義超不可達基數，並且這個術語也是不明確的。 ^[3] 

首先，當且僅當κ具有以下反射特性時，基數κ是不可達的：

對於所有子集

包含於

，存在α<κ，使得

是

的基本子結構。 （實際上，這樣的α的集合在κ中是無界的。）等價地，對於所有n≥0，κ是

-不可達的。

其次，在ZFC下，可以看出，當且僅當

是二階ZFC的模型時，κ是不可達的。

在這種情況下，通過上述反射特性，存在α<κ，使得是（一階）ZFC的標準模型。因此，存在不可接近的基數是比ZFC的標準模型的存在更強的假設。