弱模格

弱模格(weakly modular lattice)是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若b

弱模格(weakly modular lattice)是一類特殊的格。設L是格，a，b，c，d∈L，若b<a，d<c，a/b≈_wc/d，有c/d的真子商c′/d′(即d<d′≤c′<c)，使得c′/d′≈_wa/b，則稱L為弱模格。模格和相對有補格是弱模格。在弱模格中分配元與中立元是一致的。有限長分段有補弱模格可表示為單格的直積。

“格”是一種特殊的偏序集。在許多數學對象中，所考慮的元素之間具有某種順序。

例如，一組實數間的大小順序；一個集合的諸子集（或某些子集）間按（被包含）所成的順序 ；一組命題間按藴涵所成的順序；等等。這種順序一般不是全序，即不是任意二元素間都能排列順序，而是在部分元素間的一種順序即偏序（半序）。偏序集和格就是研究順序的性質及作用而產生的概念和理論。

格論在代數學、射影幾何學、集合論、數理邏輯、泛函分析以及概率論等許多數學分支中都有應用。例如，在代數學中，對於一個羣G與其子羣格（G）之間關 系的研究。在數理邏輯中，關於不可解度的研究。

格的定義：設（L，≤）是偏序集，若L中任意兩個元素都存在上確界以及下確界，則稱（L，≤）是格（lattice），為了方便，這樣的格成為偏序格。 ^[1] 

設A是一個集合，若在A內存在一個關係“≤”，它滿足：

①反身性 對於任何a∈A，有a≤a；

②反對稱性 對於a，b∈A，若a≤b，且b≤a，則a=b；

③傳遞性 對於a，b，c∈A，若a≤b，b≤c，則a≤c。

則稱“≤”是集合A的一個偏序關係，也稱作半有序關係。

如果a≤b，就叫做a不在b的後面，或b不在a的前面。

在一個集合A內，如果建立了一個偏序關係≤，就稱集合A對於關係≤成為一個偏序集，也稱作半有序集。記作(A，≤).

由上述定義可知，偏序集就是一個集合A加上一個偏序關係≤。

例如，實數集R對於關係“≤”構成偏序集(R，≤)。

再如，設I是一個全集，冪集P(I)對於關係“⊂”是一個偏序關係，(P(I)，⊂)是一個偏序集。值得注意的是，當A，B⊂P(I)，且A∩B=Φ時，A⊂B和B⊂A都不成立，但這不要緊，因為定義中不要求對於A中的任意兩個元素a和b，a≤b或b≤a必有一個成立，這就是説，它只要求這種順序關係≤在部分元素中成立。

模格是一種組合構形。它是滿足如下條件的格：對於格的任意元素x，y和z，若x≤z，則x∨(y∧z)=(x∨y)∧z。因此，模格是把滿足分配律的要求僅侷限在可比較元素之間，從而模格可視為分配格的推廣，一個格是分配格，則必為模格。下圖1裏，M₅，N₅均不是分配格，但M₅是模格，而N₅不是模格。在模格L上，映射φ_a把x映照為x∧a；映射ψ_b則把y映照為y∨b，這裏a和b均為L的固定的元素。於是φ_a和ψ_b為區間[b，a∨b]和[a∧b，a]之間互逆的同構映射，因而這兩個區間是同構的。模格的這一基本性質，亦可作為模格的另一等價定義。在模格上，把形如I₁=[a∧b，a]，I₂=[b，a∨b]的區間稱為傳遞區間。若在兩區間[x，y]和[x′，y′]之間存在一組區間I₁，I₂，…，I_k，使得相鄰兩個區間都是傳遞區間，而且I₁=[x，y]，I_k=[x′，y′]，則稱[x，y]和[x′，y′]中一個為另一個的投影區間。模格的投影區間均是同構的。這種結構上的均勻性是模格的主要特性。

模格也可由模元素來定義：格L為模格，當且僅當L的所有元素均為模元素。若L的元素a滿足：對於L的任意元素x，y，由x≤y得到x∧(a∨y)=(x∧a)∨y，則稱a為模元素。此外，格L上的一對元素a和b，若對於L的所有元素z它們滿足：若b≥z，則有b∧(a∨z)=(b∧a)∨z，此時稱a，b為模元素對。由定義知，在模元素對a和b之間是有序關係的。這就是説，當a和b為模元素對時，b和a不一定為模元素對。因此，一般把模元素對a和b記為二元序對(a，b)_M，或aMb。模格亦可由模元素對刻畫：格L為模格，當且僅當L的每對元素均為模元素對。關於模元素對的序關係為對稱的格，即若a和b為模元素對，則b和a也為模元素對，相應的格稱為模對稱格。 ^[2] 

一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M.給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射：μ： A→End(M)，　a→a_M。

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx；

3.(ab)x=a(bx)；

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A。若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M)；

則稱M為酉模或幺模，以下設A模都是酉模。 ^[3]