廣義衝量

廣義衝量由英國科學家哈密頓·W·R於1835年引進，廣泛應用於力學、物理學,形成了一整套的理論。上式中的p稱為廣義衝量（或動量），q稱為廣義座標，(p,q)稱為共軛變量，也稱為典型變量，q空間稱為構形空間，(p,q)空間稱為相空間，H 則稱為哈密頓函數。

如H 中不含t，則(*)稱保守系統；此時，h=C。

為系統的一個初積分，例如，T為動能，V為勢能,則h=T+V=C表示能量守恆定律。如H 中含t，取t=qn+1，並取,即可得到不含t的啛 的H.S.：

所以，H 中不含t的哈密頓系統具有一定的廣泛性。

（J.-）H.龐加萊曾在他的名著《天體力學新方法》(1892～1899)中暗示許多力學中的微分方程系統都可化成H.S.,但他只舉出一些例子,沒有證明。後來P.A.M.狄喇克證明下述結果(1935)，對龐加萊的暗示作了很好的補充。設有,令即得H.S.:，。因此，研究H.S.理論就是研究一般的一階正規型微分方程系統，只是引進了餘切空間(y1,y2,…,yn)而已。

當H=H0(p)，即只含p時，稱為可積系統。因為,而，從而，當q為角變量時，積分曲線在p=p0環面上。

典型變換 　如果變換(p，q)凮(P，Q)把H.S.: 變為 H.S.:，即方程(*)的形式不變,則此變換稱典型變換。使用這種變換目的在於簡化原來的系統，使K(P,Q,t)較之h(p,q,t)為簡單,最簡單的情況是使之變成,則P=C1，Q=C2為其解，再從(P,Q)→(p,q)便得到原來H.S.的解。

給定函數ƒ(w,夵,t),w可以是向量函數,,則所對應的歐拉-拉格朗日方程(見變分法)為：。令ƒ=p妜-h(p,q,t),w=(p,q),則所對應的歐拉-拉格朗日方程恰為 。如果作變換（p,q）凮（P,Q）使 pdq-PdQ =dφ，則這個變換就是一個典型變換。而對應的歐拉－拉格朗日方程是，仍是哈密頓系統。同理，若使pdq+QdP=pdq-PdQ+d(PQ)=dφ,則(p,q)凮(P,Q)仍是一個典型變換，因pdq-PdQ=d(φ-PQ)。假定p, q都是P,Q,t的函數，如果特別取,則,從而,所以。新的哈密頓系統是。若能選取S,使K=0，即，即S(q,P,t)要滿足哈密頓-雅可比方程。如果S不含,若H又不含t，則K(P,Q)=h[p(P,Q),q(P,Q)]。

關於哈密頓系統方程組的解的穩定性理論。是由A.H.柯爾莫哥洛夫，Β.И.阿爾諾德和J.K.莫澤三人共同建立的(1954、1963)，因而得名。他們嚴格證明了擬週期解的存在性，即幾乎可積系統，有填滿不變環的擬週期解存在。這是哈密頓系統，特別是它的定性理論的近代發展中的最重要的成就。

1889年由龐加萊所開創的哈密頓系統的定性理論中最深刻的結果是限制性三體問題中近圓形軌道的穩定性，這個結果的證明即來自KAM理論，從而使P.-S.拉普拉斯提出的,已歷時200年的太陽系穩定性問題得到重要的突破。無論從微分方程方面，或從天體力學方面來看，這都是重大的貢獻，得到廣泛重視。

KAM理論很複雜，它的思想略述如下。

設有幾乎可積系統： ， 充分小， 可取所有的正負整數值。KAM理論證明，在一定條件下,可選定一系列的典型變換：，使, 即最終得到的 H.S.為, ，即可積系統。其積分為。這表明積分曲線在一族環面上。

把變換倒過來，(P,Q)→…→(p,q)，在一定條件下，有些環面只是被扭曲了，但並沒有破裂。積分曲線中有的還在被扭曲了的環面上。特別，當環面是三維空間的環面，則積分曲線被圍困在兩相鄰環面之間，無法逸出，顯示出運動的拉格朗日穩定性。

C.L.Siegel，J. K.Moser，Lectures on Celestial Mechanics,Springer-Verlag,Berlin,1971.

G.E.O.Giacaglia,Perturbation Methods in Nonlinear Systems,Springer-Verlag,New York,1972.