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平行四邊形恆等式
鎖定
- 中文名
- 平行四邊形恆等式
- 外文名
- Parallelogram law
- 分 類
- 數理科學
目錄
平行四邊形恆等式簡介
假設這個平行四邊形是寫作
的話,那麼平行四邊形恆等式就可以寫成:
也就是直角三角形的勾股定理:
平行四邊形恆等式一般四邊形的情況
平行四邊形恆等式複平面情形
在複平面上,可以將平行四邊形恆等式寫為複數的形式。
平行四邊形恆等式使用勾股定理的證明
如圖1,在平行四邊形
中,設邊
的長度為
,過點
作垂直於
的直線交線段
於
,設線段
的長度(即
對應的高)為
,線段
的長度為
。那麼
同樣的,根據勾股定理,也可以算出對角線{\displaystyle AC}的長度的平方為:
而對角線
的長度的平方則是:
於是平行四邊形四邊長度的平方和等於:
平行四邊形恆等式賦範內積空間上的推廣
更一般的,在高維的歐幾里得空間中(比如在三維空間中),可以想象平行四邊形恆等式仍然是成立的,因為總可以找到平行四邊形所在的平面,然後用平面上的方法證明。而在更廣泛的定義了內積(初等幾何中“角度”概念的推廣,記作
)和相應的範數(初等幾何中“長度”概念的推廣,記作
)的線性空間中,儘管已經沒有直觀幾何意義上的平行四邊形的概念,但仍然會有類似的恆等式
[2]
:
如果是沒有定義內積,僅僅有範數的線性空間,則不一定有這樣的結果。如果線性空間上定義的範數不是與某個內積相聯繫(
)的話,那麼上面的等式將不再成立。
平行四邊形恆等式使用內積和範數的證明
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