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希爾伯特數學問題
鎖定
1900年，德國數學家D.希爾伯特在巴黎第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的著名講演，其中對各類數學問題的意義、源泉及研究方法發表了精闢的見解，而整個講演的核心部分則是希爾伯特根據19世紀數學研究的成果與發展趨勢而提出的23個問題。這23個問題涉及現代數學大部分重要領域，推動了20世紀數學的發展，數學史上稱之為希爾伯特數學問題。
- 中文名
- 希爾伯特數學問題
- 提出者
- D.希爾伯特
- 提出時間
- 1900年
- 應用學科
- 數學
希爾伯特數學問題具體問題
1.G.康托爾的連續統假設問題；1963年，P.J.科恩證明了：連續統假設的真偽不可能在策梅洛－弗倫克爾公理系統內判明。
希爾伯特數學問題
3.兩等高等底的四面體體積之相等；M.W.德恩1900年即對此問題給出了肯定解答。
4. 直線作為兩點間最短距離問題希爾伯特之後；在構造與探討各種特殊度量幾何方面有許多進展，但問題並未解決。
5. 不要定義羣的函數的可微性假設的李羣概念 ；A.M.格利森、D.蒙哥馬利和L.齊平等於1952年對此問題作出了最後的肯定解答。
6.物理公理的數學處理；公理化物理學的一般意義仍需探討。至於希爾伯特問題中提到的概率論公理化，已由Α.Η.柯爾莫哥洛夫(1933)等人建立。
7. 某些數的無理性與超越性；1934年,A.O.蓋爾豐德和T.施奈德各自獨立地解決了問題的後半部分，即對於任意代數數α≠0，1，和任意代數無理數β證明了αβ的超越性。
8. 素數問題；包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孿生素數問題等。一般情況下的黎曼猜想仍待解決。哥德巴赫猜想最佳結果屬於陳景潤(1966)，但離最終解決尚有距離。
9. 任意數域中最一般的互反律之證明；已由高木貞治(1921)和E.阿廷(1927)解決。
10.丟番圖方程可解性的判別；1970年，ю.Β.馬季亞謝維奇證明了希爾伯特所期望的一般算法不存在。
11.係數為任意代數數的二次型問題；係數為任意代數數的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格爾(1936，1951)在這問題上獲得重要結果。
12.阿貝爾域上的克羅內定理在任意代數有理域上的推廣；阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意代數有理域尚未解決。
13.證明不可能用僅有兩個變量的函數解一般的7次方程；不可能用只有兩個變數的函數解一般的七次方程連續函數情形於1957年由Β.И.阿諾爾德解決。解析函數情形則尚未解決。
14.證明某類完全函數的有限性；證明某類完全函數系的有限性1958年,永田雅宜給出了否定解決。
15.舒伯特計數演算的嚴格基礎；舒伯特計數演算的嚴格基礎代數幾何基礎已由B.L.範·德·瓦爾登(1938～1940)與A.韋伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解決。
16.代數曲線和曲面拓撲問題；代數曲線與曲面的拓撲對該問題的後半部分，И.Γ.彼得羅夫斯基曾聲明證明了 n=2時極限環個數不超過 3，但這一結論是錯誤的，已由中國數學家舉出反例(1979)。
17.正定形式的平方表示式；正定形式的平方表示式已由E.阿廷於1926年解決。
18.由全等多變體構造空間；由全等多面體構造空間部分解決。
19.正則變分問題的解是否一定解析；正則變分問題的解是否一定解析1904年,С.Η.伯恩斯坦證明了一個變元的解析非線性橢圓方程其解必定解析。該結果後又被推廣到多變元和橢圓組情形。
20.一般邊值問題；一般邊值問題、偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展
21.具有給定單值羣的線性微分方程的存在證明；具有給定單值羣的線性微分方程的存在性 已由希爾伯特本人(1905)和H.羅爾(1957)的工作解決。
22.通過自守函數使解析關係單值化；解析關係的單值化 一個變數的情形已由P.克貝(1907)解決。
23.變分法的進一步發展；
希爾伯特數學問題研究歷史
希爾伯特作為當時的國際領頭數學家，以其遠見卓識闡述了數學發展的特點，分析了數學內部及外部因素對數學進步的作用，強調了重大數學問題乃是數學前進的指路明燈。他堅信數學不會因正在盛行的專門化趨勢而被分割成不聯繫的孤立分支，數學作為一個整體的生命力正在於其各個部分間聯繫
