克羅內克定理

設n為奇素數，f(二)是有 理數域上的n次不可約多項式，如果代數方程f.(二) 一0有根式解，則此方程或僅有一個實根，或所有根 皆為實數.這是德國數學家克羅內克(Kronecker, L.)得到的一個定理.由此，他得出了:高於4次的 代數方程在一般情況下不可能有根式解的結論，即 阿貝爾定理.利用克羅內克定理可以方便地構造出 許多不能根式解的高於4次的代數方程.例如，使用 下面一個定理:設方程 x+px,.}+q=0，(1> 式中，m,n均為正奇數，nom, p,q為非零實數，且 pG0， 2陰 刀2'"一川 }pl。念 (n一m)(n/ 則方程(1)的根的情形為: 1. D}0時，有一個實根，其餘為虛根. 2. D=。時，有三個實根(其中有兩個等根)，其 餘為虛根. 3. DGO時，有三個不同實根，其餘為虛根. 根據上述定理可構造不能根式求解的五次方程 x'-ax-b=0，其中正整數a,b能被某素數p整除， 但p2不能整除b，且 {a)。_{b、 }二丁一夕}一丁} {5)(4{ 一般地，奇素數，(妻5)次代數方程x -a二一fi =0，當正整數a,b能被某素數p整除，但p2不能整 除b，且 {a{”_{b{”一l {一}少}—} (n/(n一1) 時，不能根式求解. ^[1]