希帕克

這些業績使他在天文學上享有盛譽。有人説他還計算過太陰視差，確定過月亮的近地點和平均移動，並且曾編過850個恆星的目錄。把圓分成360°的劃分法介紹到希臘的也是希帕克（也許是希普西克Hipsicles，大約公元前180年）。據説，他曾提倡過用緯度的和經度來定地球上地點的位置。我們對於這些成果的知識來自第二手材料，因為幾乎沒有希帕克的任何原著被保存下來。

然而，對我們來説，希帕克有比在天文學上更重要的成就，那就是他在三角學的發展中所起的作用。四世紀的評論家亞歷山大里亞的泰奧恩曾把十二本討論弦表(table ofchords)設計的論著歸功於希帕克。

弦長以每一等分為單位，以六十進位制表達。這樣，以符號crd α表示圓心角α所對的弦長，例如

crd36°=37°4′55″．

意思是：36°圓心角的弦等於半徑的37/60(或37個小部分)，加上一個小部分的4/60，再加上一個小部分的55/3600，從圖48看出，弦表等價於正弦函數表，因為這樣，托勒玫的弦表實質上給出了從0°到90°每隔15’的角的正弦。這些被托勒玫天才地解釋的計算弦長的方式，似乎希帕克就已知道。有證據表明：希帕克系統地使用過他的表，並且知道與現代解球面直角三角形所用的一些公式等價的公式。

泰奧恩曾提到過：普魯塔克的同輩、亞歷山大里亞的梅內勞斯寫的關於圓中的弦的六本論著。這部著作和梅內勞斯的許多其它著作者失傳了。但幸運的是梅內勞斯的三卷《球面幾何》(Sphaerica)以阿拉伯文保存下來了，這部著作在希臘三角學的發展中起重要作用。在第一卷中，第一次給出了球面三角形(spherical triangle)的定義。這卷書，對球面三角形證明了許多歐幾里得在平面三角形中證明過的命題，例如，通常的全等定理、關於等腰三角形的定理等等。除此之外，還證明了：兩個球面三角形，如果其對應角分別相等，則全等(在平面上不存在類似的命題)：以及這樣一個事實：球面三角形的三內角之和大於二直角。

對稱的球面三角形被當作是全等的。第二卷中包括天文學中一些有趣的定理。第三卷展示當時的球面三角學，多半是從大學幾何課中學生所熟知的強有力的命題——梅內勞斯定理(Menelaus’theorem)之球面的情況導出的；該定理為：

如果一直線分別交△ABC的三邊BC、CA、AB於L、M、N，則在球面中的一個類似的命題是：一個大圓分別交一個球面三角形ABC的三邊BC、 CA、 AB於點L、M、N，則相應的結論等價於

梅內勞斯假定平面情況是已知的，並用來證明球面的情況。大量的球面三角學命題可以用取特殊的三角形和特殊的橫截線的方法從此定理導出。此定理在平面情況和球面情況的逆定理都成立。

希臘的天文學的權威性著作是亞歷山大里亞的的托勒玫(Claudius Ptolemy)在大約公元150年寫的。這部很有影響的著作稱為《數學彙編》(Syntaxis mathematica)是以希帕克的著作為基礎的，且以其文筆簡潔和雋永而著稱。為了和其它篇幅較小的天文學著作區別開，後來的評論家把它稱之為《大彙編》[the superlative magiste或“greatest”(最大的)]。再靠後些，阿拉伯譯者以阿拉伯文冠詞al添在詞頭，因此這部著作被稱為Al-magest。這部論著共十三卷，第一卷除了一些初級的天文學資料之外，還包括了上面講的弦表，並且扼要解釋從一個含義豐富的幾何命題，來推導弦表的方法，這個命題稱為托勒玫定理(Ptolemy’s theorem)：

在圓內接四邊形中，兩對角線之積等於兩對對邊之積的和(參看問題研究6．9)． ^[1] 

第二卷是研究與地球的球面性有關的現像。第三、四、五卷，用本輪解釋天文學的地心學説。第四卷中有測量學的三點問題(three—point problem)：確定這樣的點，使這一點與給定的三個點中每兩點的連線所成之角分別為給定的角；並且，有解。這個問題已經有很長的歷史，被稱作斯內爾(Snell)問題(1617年)或波西諾特(Pothenot)問題(1692)。第六卷講述日、月食的理論，其中有4．8節中提到過的π的四位值。第七卷和第八卷是1028個恆星的目錄。其餘幾卷是研究行星的。《大彙編》一書，在哥白尼和開普勒之前一直是標準的天文學著作。

托勒玫寫過關於地圖射影(參看問題6．10)、光學和音樂的著作，他還試圖從《原本》的其它公理和公設推出歐幾里得的第五(平行)公設，使之把它從歐幾里得的一系列原始假定中去掉，然而沒有成功。