局部可解性

研究線性偏微分方程Pu=ƒ在什麼條件下局部有解存在。若P是常係數算子,則由基本解的存在而保證Pu=ƒ一定局部有解。在變係數情況下,柯西-柯瓦列夫斯卡婭定理證明了很大一類解析的方程必然局部地有解析解存在。於是人們以為變係數線性偏微分方程也和常係數情況一樣,只要不是過於“奇異”,總是局部可解的。因此,當H.盧伊在1957年發現方程，在ƒ僅只屬於C∞而非解析的情況可以無解（甚至沒有廣義函數解）時，引起了很大的震動。從而提出了局部可解性問題。

局部可解性的一種定義是,方程Pu=ƒ當ƒ屬於C∞(Rn)的某個餘維數有限的子空間時,在Rn的某個緊集K附近恆有解u∈D′(Rn)存在,就説P在K中可解。這裏P既可以是線性偏微分算子，也可以是擬微分算子。

20世紀60年代以來,許多數學家討論過這個問題。設P的象徵是復值函數p(x,ξ)=Rep(x,ξ)+iImp(x,ξ)。一個重要的條件是

(Ψ)：在Rn的開集U中不存在C∞(T*U-0)中的正齊性復值函數q(x，ξ)使Im(qp)沿着Re(qp)的次特徵Г 的正方向由負值變號為正值，這裏q(x,ξ)≠0（於Г上）。

所謂一個函數的次特徵,指的是的積分曲線。所謂正方向是指t增加的方向。可以證明，條件(Ψ)是Pu=ƒ在一點附近局部可解的必要條件；在某些情況下特別是主型算子情形也是充分條件。然而，在一般情況下，條件(Ψ)對於局部可解性是否是充分的仍未解決。

總之，局部可解性問題仍然是線性偏微分算子理論中尚未完全解決的重要問題。