實數系

數的概念產生於原始人在生活和生產中逐漸形成了“有”和“無”、“多”和“少”的概念，再從“有”中分離出“多少”，逐漸產生1、2、3等自然數概念，這是人類矇昧時期具有的“識數”的能力，這種能力心理學家稱之為“數覺”。這種“數覺”並非為人類所獨有，人類智慧的卓越之處在於他們發明了種種記數方法。最初的記數方法是由具體物品或標誌(如手指、小石、刻痕、結繩等)來代替，根據一一對應的原則進行記數，以後便逐漸脱離了具體事物的量，抽象出純粹的數的概念，這就是數字——記數的文字(數的語言)。不同的文明創造了迥然不同的記數方法，如，巴比倫的楔形數字系統、埃及象形數字系統、希臘人字母數字系統、瑪雅數字系統、印度一阿拉伯數字系統和中國的算籌記數系統。隨着人類社會的進步，數的語言也在不斷髮展和完善，記數發展的第一個里程碑出現了：位值制記數法。所謂位值制記數法，就是運用少量的符號，通過它們不同個數的排列，以表示不同的數，其中最重要和最美妙的記數法則是現在國際通用的常稱為阿拉伯lO進位位值制記數法(阿拉伯數碼)。

法國著名數學家拉普拉斯(Laplace，1749一1827)曾對此有過一段精彩的評論。他曾經寫道：用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法，它今天看來如此簡單，但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發明中列在首位。阿拉伯數碼是歷史遺留下來的不確切名稱，其實叫做印度一阿拉伯數碼更為恰當。它的演變，有一段漫長而複雜的歷史。現已有充分而確鑿的史料證明，lO進位位值制記數法最先產生於中國。印度一阿拉伯數碼最早可以上溯到婆羅米文字，這種文字形成於公元前7、8世紀，是印度文字的祖先。完成位值制必須有“0”號，最初用空格表示零，後來用小點表示，印度最早的確鑿無疑的“O”號出現在一塊石碑上，年代是公元876年。公元773年，印度數碼開始傳人阿拉伯國家，有人顧名思義，認為“阿拉伯數碼”就是阿拉伯人創造的數碼，這是誤解。

13世紀，歐洲的著名數學家斐波那契(L Fibonacci，1170一1250)寫了一本書，名為《算盤書》，這是第一部向歐洲人介紹印度數碼的著作。在歐洲人的印象中，這些數碼來自阿拉伯國家，所以稱之為阿拉伯數碼，這個名稱就這樣沿用下來。由具體的記數需要抽象出數字的概念，伴之而來的就是數數，即數的運算，10進位位值制記數法的出現，標誌着人類掌握的數的語言，已從少量的文字個體，發展到了一個具有完善運算規則的數系。人類第一個認識的數系，就是常説的“自然數系”。自然數系是一個離散的，而不是稠密的數系，它作為量的表徵，它只限於去表示一個單位量的整數倍，而無法表示單位量的部分。在自然數系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算，即減法和除法。這些缺陷，由於分數和負數的出現而得以彌補。

原始的分數概念來源於對量的分割。分數看作是正整數的比，這相當於自然數系中引入除法運算。為了使減法運算在自然數系內也通行無阻，負數的出現就是必然的了。盈餘與不足、收入與支出、增加與減少是負數概念在生活中的實例，教科書在向學生講授負數時也多搪此理，這就產生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認識而引進負數的。

而事實表明，負數的概念和運算法則首先出現在中國《九章算術》的“方程”一章中，因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時，就必須引入負數和建立正負數的運算法則。負數雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀和17世紀的大多數數學家並不承認它們是數，或者即使承認了，也並不認為它們是方程的根。如韋達(Vieta，1540一1630)完全不要負數，巴斯卡(Pascal，1623—1662)則認為從。減去純粹是胡説。負數是人類第一次越過正數域的範圍，此前種種經驗，在負數面前全然無用。在自然數系中引入除法和減法運算，得到分數和負數的概念之後，自然數系就擴充成了有理數系。

古希臘數學的祖師之一畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，而數就是正整數(非零自然數)，分數看作整數之比。除此之外，他們不認識，也不承認有別的數。他們相信，任何量都可以表示成兩個整數之比。從幾何上講，對於任意給定的兩條線段，總能找到第三條線段，以它為單位(即公度)線段能將給定的兩條線段劃分為正數段。希臘人稱這樣給定的兩條線段為“可公度量”，意思是有公共的度量單位。畢達哥拉斯學派討論的數僅限於可公度的量。原意是“可表達的”、“可比的”和“有理由的”的意思，這就是有理數名稱的由來。然而，畢達哥拉斯學派後來卻發現，並不是任意兩條線段是可公度的。例如，正方形的對角線與其一邊就不能構成可公度線段。對於不可公度量，被認為是“不可比的”、“不可表達的”和“無理由的”，這就是無理數名稱的由來。

無理數的發現對畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的信條造成了強烈的震撼。後來，人們又陸續發現了拉以外的許多無理數，如中國古代數學在處理開方問題時，也不可避免地碰到無理根數。這些“怪物”深深地困擾着古希臘的數學家們，這就是數學史上的“第一次數學危機”。

無理數(不可公度量)的發現，擊碎了畢達哥拉斯學派“萬物皆數”的美夢，同時也暴露出有理數系的缺陷。一條從原點出發的直線上任意一點與原點的距離(線段長)，如果是可公度的，則對應一個有理數，如果是不可公度的，則找不到一個數與之對應，這説明直線上漏出了許多“孔隙”，儘管有理數有很多，在直線上是“稠密”公佈的，但都不是連續的，不能與直線上的點形成一一對應。這是一個很困擾人的問題，它使得幾何學在邏輯上繞不過不可公度障礙，勢必形成幾何學與算術的分離，如此一來，古希臘人把有理數視為連續銜接的設想就徹底地破滅了。

無理數是什麼?現在的回答是：無限不循環小數。然而，什麼是無限?如何判斷不循環?兩個無限不循環小數如何相加、相乘?法國數學家柯西(A．Cauchy，1789—1875)給出了回答：無理數是有理數序列的極限。如此一來必須在有理數系中引入極限運算。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數序列的極限，意指預先存在一個確定的數，使它與序列中各數的差值，當序列趨於無窮時，可以任意小。但是，這個預先存在的“數”又從何而來呢?我們姑且像柯西一樣，把有理數序列的極限看成是先驗地存在的。這個極限可能是無理數，也可能是有理數，我們統稱她是實數 ^[1]  。

實數系的基本定理也稱實數系的完備性定理、實數系的連續性定理，這些定理分別是確界存在定理、單調有界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、緻密性定理、閉區間套定理和柯西收斂準則，共7個定理。

它們彼此等價，以不同的形式刻畫了實數的連續性，它們同時也是解決數學分析中一些理論問題的重要工具，在微積分學的各個定理中處於基礎的地位。

7個基本定理的相互等價不能説明它們都成立，只能説明它們同時成立或同時不成立，這就需要有更基本的定理來證明其中之一成立，從而説明它們同時都成立，引進方式主要是承認戴德金公理，然後證明這7個基本定理與之等價，以此為出發點開始建立微積分學的一系列概念和定理。