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安培環路定理
鎖定
安培環路定理可以由畢奧-薩伐爾定律導出。它反映了穩恆磁場的磁感應線和載流導線相互套連的性質。
- 中文名
- 安培環路定理
- 外文名
- Ampere circuital theorem
- 別 名
- 安培定律
- 提出者
- 安培
- 適用領域
- 電磁學
- 應用學科
- 物理
- 驗 證
- 可以由畢奧-薩伐爾定律導出
安培環路定理簡介
它的數學表達式是
按照安培環路定理 ,環路所包圍電流之正負應服從右手螺旋法則。如果閉合路徑l包圍着兩個流向相反的電流I1和I2( 如圖1所示)
按圖1中選定的閉合路徑l 的繞行方向,B矢量沿此閉合路徑的環流為
如果閉合路徑l包圍的電流等值反向,或者環路中並沒有包圍電流,則:
安培環路定理積分形式
請注意到這方程有些模糊之處,需要特別澄清:
第一,邊界曲線
的正向與曲面
的側符合右手規則。
第二,(固定
)定理之成立與以
為邊界
的的選擇無關。
安培定律可由畢奧-薩伐爾定律和磁場的疊加性證明(請參閲畢奧-薩伐爾定律)。在靜磁學中,安培定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時,我們可以利用這對稱性,使用安培定律來便利地計算磁場。例如,當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時,可以採用圓柱座標系來匹配系統的圓柱對稱性。
安培環路定理微分形式
磁場
的旋度等於(產生該磁場的)傳導電流密度
。
安培環路定理缺點
取散度於這方程,則會得到
應用一個矢量恆等式,旋度的散度必定等於零。所以,
這意味着電流密度的散度等於零:
在靜磁學內,這是正確的。但是,出了靜磁學範圍,當電流不穩定的時候,這就不一定正確了。
一個正在充電的電容器,左邊的圓形金屬板,被一個假想的封閉圓柱表面
包圍。這圓柱表面的右邊表面
處於電容器的兩塊圓形金屬板之間,左邊表面
處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面
,而有電流 I通過表面
。
在這裏,
是通過任意曲面的電流,只要這曲面符合一個條件:邊緣為閉合迴路
。所以,這任意曲面可以是表面
,而
是I;或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面
,而由於通過這任意曲面的電流是 0,
是0。選擇不同的曲面會得到不同的答案,這在物理學裏,是絕對不允許發生的事。
為了解決上述難題,安培定律必須加以修改延伸。
[2]
應用流體力學的方法,麥克斯韋摹想磁場為電介質渦旋(vortex)大海,而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裏面,麥克斯韋將位移電流項目加入了安培定律。
[3]
安培環路定理證明方法
如果在某個載流導體的穩恆磁場中可以找到一條閉合環路l,該環路上的磁感強度B大小處處相等,B的方向和環路的繞行方向也處處同向,載流長直螺線管內磁場 應用安培環路定理 忽略了左右下的部分,證明並不是在環路上B的大小處處相等環路方向與磁感應強度方向相同處,B的大小方向處處相等。
安培環路定理對稱環路
在垂直於長直載流導線的平面內,以載流導線為圓心作一條半徑為r 的圓形環路l,
則在這圓周上任一點的磁感強度H的大小為
其方向與圓周相切.取環路的繞行方向為逆時針方向,取線元矢量dl,則H與dl間的夾角 ,H沿這一環路 l 的環流為
式中積分 是環路的周長。
於是上式可寫成為
從上式看到,H沿此圓形環路的環流 只與閉合環路所包圍的電流I 有關,而與環路的大小、形狀無關。
安培環路定理任意環路
在垂直於長直載流導線的平面內,環繞載流直導線作一條任意環路l,取環路的繞行方向為逆時針方向。
在環路上任取一段線元dl,載流直導線在線元dl處的磁感強度B大小為
H與dl的夾角為 ,則H對dl的線積分為
直導線中心向線元的張角為 ,則有 ,所以有
可見,H對dl的線積分與到直導線的距離無關。
那麼B對整個環路的環流值為
上述計算再次説明H的環流值 與環路的大小、形狀無關。
安培環路定理不包圍電流
以載流直導線為圓心向環路作兩條夾角為 的射線,在環路上截取兩個線元 和 。 和 距直導線圓心的距離分別為 和 ,直導線在兩個線元處的磁感強度分別為 和 。從圖2可以看出 ,而 。利用安培環路定理的證明之二的結論可知
安培環路定理結論
所以有:
從載流直導線中心O出發,可以作許多條射線,將環路分割成許多成對的線元,磁感強度對每對線元的標量積之和,都有上式的結果,故 即環路不包圍電流時,B的環流值為零。
安培環路定理計算應用
利用安培環路定理求磁場的前提條件:如果在某個載流導體的穩恆磁場中,可以找到一條閉合環路l,該環路上的磁感強度B大小處處相等,B的方向和環路的繞行方向也處處同向,這樣利用安培環路定理求磁感強度B的問題,就轉化為求環路長度,以及求環路所包圍的電流代數和的問題,即
利用安培環路定理求磁場的適用範圍:在磁場中能否找到上述的環路,取決於該磁場分佈的對稱性,而磁場分佈的對稱性又來源於電流分佈的對稱性。因此,只有下述幾種電流的磁場,才能夠利用安培環路定理求解。
1.電流的分佈具有無限長軸對稱性
2.電流的分佈具有無限大面對稱性
3.各種圓環形均勻密繞螺繞環
利用安培環路定理求磁場的基本步驟
1.首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析;
2.根據磁場的對稱性和特徵,選擇適當形狀的環路;
3.利用公式求磁感強度。
- 參考資料
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- 1. David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X.
- 2. Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295.
- 3. James C. Maxweel. On Physical Lines of Force (PDF). Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961.