奇異系統

奇異系統(singular systems)是一類由微分及代數方程綜合描述的系統，它在結構形式上比僅由純微分方程或差分方程描述的正則系統多了代數方程描述部分。由於研究領域的不同，奇異系統又被不同領域的學者冠以不同的稱呼，例如廣義狀態空間系統、描述系統等等。由於奇異系統描述比正常系統多了代數方程描述部分(快變子系統)，因此，奇異系統的適用度比正常系統要廣泛得多。通過系統適當地變換，奇異系統也可以描述成正則系統，但是，許多原有系統的物理特性在變換後有可能會丟失。

最早的奇異系統模型是由學者Ardema在1962年通過研究航天器的動力模型過程中提出的。後來，Rosenbrock在研究複雜的電網系統時，發現電網中某些部件突然失效，在失效的前後時刻有電流的瞬動現象產生，這種瞬間變化的現象不包括在常見正則系統描述之中，在經過大量的研究及實驗後，建立了電網系統的奇異模型。自此以後，廣大研究愛好者對奇異系統展開了廣泛地研究，並且獲得了許多非常有價值的理論成果。由於奇異系統適合於描述規模較大且非常複雜的系統，因此，自上世紀八十年代開始奇異系統被非常廣泛地用於奇異攝動系統、電子網絡系統、決策系統、複雜大規模系統等各個領域。隨着廣大學者研究的不斷髮展和深入，許多可以由奇異系統描述的實際系統不斷被發現。例如,受限機器人、紐曼模型、Leontief模型、非因果系統、核反應堆等均是典型的奇異系統。

目前，雖然大量的學者在奇異系統相關理論中取得了許多的理論研究成果，但是仍舊有不少的奇異系統理論分析與實際應用上的問題需要研究及解決。例如目前仍然沒有獲得時變奇異系統顯式解等，同時，仍有許多研究成果令人不太滿意，如時變時滯系統的穩定與鎮定等。 ^[1] 

奇異系統包括連續時間奇異系統(或稱連續奇異系統)及離散時間奇異系統(或稱離散奇異系統)。連續時間奇異系統描述形式可表達如下：

其中，

為狀態變量；矩陣

可能奇異，且有

。

離散時間奇異系統描述形式可表達如下：

其中，

為狀態變量；矩陣

可能奇異，且有

。

典型的奇異系統有Leontief經濟模型、神經網絡模型、Hopfield神經網絡模型、飛機的傳動系統振動衰減摸型和奇異形式的電子網絡模型等。下面就其中幾種舉例説明。 ^[1] 

考慮如下Leontief經濟模型：

其中

代表模型中的產品總量，

代表模型中的產品最終量；L及C分別為模型中的消耗矩陣與資本矩陣。且有

由於模型中C奇異，因此上述模型可描述成如下離散奇異系統形式：

其中，

為神經網絡的狀態變量，

為對應神經細胞的生存期，

為對應神經細胞的接受能力，s代表神經元的輸入，

為神經網絡的連接權值，

為

的L 個無序子集。可見，本例是典型的奇異大系統。

其中，

為系統狀態向量；

、

為兩個加權矩陣。由於該系統中存在非線性函數

、

，因此，該系統是包含非線性屬性的奇異系統。

與僅由微分或差分方程描述的正則系統相比較，可以發現奇異系統具有如下性質： ^[1] 

(1)奇異系統狀態的解不僅包括指數解而且還包括靜態解以及脈衝解；

(2)奇異系統一般均包括慢變子系統及快變子系統兩部分，其中慢變子系統的動態特性由微分方程(連續系統)或者差分方程(離散系統)描述，快變子系統的靜態特性由代數方程描述。靜態特性是正則系統所沒有的。

(3)與正則系統傳遞函數不同之處為奇異系統傳遞函數中還包含着多項式描述的部分。

(4)奇異系統的解不僅由過去結果和當前的輸入決定，有時還與系統將來的輸入有關係，也就是説，奇異系統常具有非因果特性。

(5)奇異系統有可能不存在齊次初值的解，有的時候即使存在也有可能不是唯一的。

由於奇異系統的以上特點，使得其比只由微分方程構成的正則系統描述的範圍寬廣得多，現已被廣泛應用於經濟學、大規模複雜系統等各個領域。

目前奇異系統的研究方法主要包括多項式法、幾何法和狀態空間法。前面兩種方法都屬於頻域中的分析方法。

幾何方法是在十九世紀八十年代由Wonham提出，並由Lewis推廣，其主要方法是將系統的綜合問題拆分成基本的理論及系統反饋控制器設計兩個部分。幾何方法在描述系統的結構上能夠做到更深入。但是同樣也存在許多缺陷，例如當系統出現參數攝動時，不能分析系統的魯棒性。

多項式法同時又稱為代數方法，主要通過傳遞函數的因式分解將系統分解為非真因子和真因子。不足之處是此方法必須基於保持相同的穩定裕度的基礎之上才能進行系統鎮定控制器設計,否則無法實現。

狀態空間法，同時又稱為時域法，是在現代控制理論中建立起來的基於系統狀態空間描述的系統分析與綜合方法。主要基於矩陣的運算實現分析系統穩定性與設計相應控制器的目的。所使用的方法主要包括系統模型變換、自由權矩陣、Lyapunov函數、有界交叉項、二次型的積分不等式、線性化技術、線性矩陣不等式(LMI)等方法。 ^[1]