奇異曲面

奇異曲面(singular surface)是微分對策的概念之一。指不同性質區域的界面。微分對策問題狀態空間中不同性質定義的區域間的界面。在微分對策中，對於不同的問題存在有多種不同形式的奇異曲面，它們常在解題中起着支配性的作用。例如，有的奇異曲面將狀態空間分為一些不同性質的區域，在每一區域中軌線的性質不同；又如，有些特殊性質的軌線，就在某種奇異曲面上運動；再如，某種奇異曲面是具有某種性質的軌線的出發地等。對各種奇異曲面沒有統一的理論，只能分別進行分析。 ^[2] 

微分對策是一種對策。指應用微分方程組來描述連續動態決策過程的對策。微分對策起源於研究軍事上的追蹤問題，但它不是單純的追和逃的追蹤問題。微分對策是在20世紀50年代中期發展起來的一種新的對策理論，已被廣泛應用於最優控制、系統工程和軍事決策中。在微分對策中，控制規律表示為狀態變量的函數，向量x(t)表示時刻t時雙方的狀態變量，φ(x)表示追方的控制量，ψ(x)表示逃方的控制量.當φ(x)和ψ(x)選定後，雙方的運動情況可由微分方程dx/dt=f(x，φ，ψ)來描述，當給定初始狀態x後，各方選擇控制規律φ(x)和ψ(x)，即可求出在這局對策中自始至終的運動路線。

兩個或多個局中人為實現各自最優目標的動態對策，其動態過程由微分方程來描述。微分對策實際上是一種雙方或多方的最優控制問題。其最優策略所應滿足的必要條件，可像最優控制理論中的極大值原理那樣導出。微分對策的研究興起於20世紀40年代，直到1965年，艾薩克斯對完全對抗的二人零和對策問題進行了研究，才奠定了微分對策的理論基礎。各種微分對策的構成要素可歸結為：(1)參加對策的各方局中人擁有不同的利益。(2)局中人依據自己掌握的信息做決策。(3)根據對策規則，局中人的地位可能不同。(4)對策的結局由各局中人的控制作用共同決定。對應於這些要素的不同情況，可把微分對策做出各種形式的分類。例如，可按局中人的數目分類為n人微分對策，n=2，3，…。也可按結局分類：當結局只有贏或輸時，稱為定性微分對策;當結局的得失在連續範圍內變化時，稱為定量微分對策。也可按局中人利益的性質分類：當局中人的利益為對抗時，稱為零和微分對策;當局中人既有競爭又有合作時，稱為非零和微分對策。按局中人之間的合作程度，還有組隊最優、納什均衡、帕累托最優和協商策略等多種形式。微分對策在軍事、工業控制、航空航天、環境保護、經濟管理和市場競爭等方面都有應用。

在捕獲-逃逸的動態對策問題中，還經常會遇到諸如哪一方能最終達到目標之類的定性微分對策問題。對此亦有許多理論研究。例如，可以在狀態空間中劃分出可捕獲區和可逃逸區，並説明它們與系統模型參數(諸如飛機的速度和轉彎半徑等)之間的關係，這些均有重要的實際參考價值。對於動態非零和對策問題，包括動態納什對策、動態主從對策，也都有許多研究。雖然也可列出極大值原理型的條件，但往往導致非古典的、未知函數相互耦合的兩組兩點邊值問題的求解，均難以處理.各控制函數依信息結構不同，可以是開環式的時間函數、狀態反饋形式或是帶記憶的狀態反饋(稱為閉環解)，它們都會導致本質不同的結果。對動態納什對策，可以證明狀態反饋解就是閉環解，它們都滿足最優性原理，並可用動態規劃求解。但對動態主從對策這一結論不成立。由於這裏涉及主方對從方的“錯誤”行動，應有足夠的信息，及時發現，仍有機會給以懲罰，這裏需要一些比較特殊的信息結構，以及u_L對J_F足夠的影響力。 ^[3] 

也稱動態決策。它是按決策要求獲得答案的數目多少及其相互關係的情況劃分出的一種決策類型，是單項決策的對稱。它要求做出一系列相互關聯的決策。序貫性決策有兩種基本類型：(1)解決的問題要做兩項或兩項以上的決策，即多級決策。例如：某項改革是進行?還是不進行?如果決定進行，那麼遇到某種阻力時又將怎樣?這就需要進行幾個項目的決策後，才能做出總體決策。(2)解決統一決策過程中幾個時間階段(或時點)條件下，有密切相關的一連串問題的決策，即多階段決策。例如：擬實行某項改革，而方案的最後的取捨是取決於該項改革的整個時間階段中不同時間階段的可能條件。因而決策者就得先做出這個總體決策不同時間階段(從後往前分時序)的各項決策，經過一定的取捨後再做出總體決策。序貫性決策有兩個特點：(1)它所做出的決策不是一個而是一連串性的。(2)這一連串決策不是彼此無關的，而是前一項決策直接影響後一項決策。此種決策要直接考慮到時間先後的動態變化。序貫性決策可以一次全部決策下來，也可以先確定第一步怎樣做，然後為第二步定出幾個可能的方案，規定將來按第一步行動後果的不同而選用不同的第二步方案，以後的幾步也採用這種“可變”的計劃。有時還可以包括這種決策，即某個方案在執行中遇到的情況變化時應當變換方案的規定。

狀態空間是控制工程中的一個名詞。狀態是指在系統中可決定系統狀態、最小數目變量的有序集合。而所謂狀態空間則是指該系統全部可能狀態的集合。簡單來説，狀態空間可以視為一個以狀態變數為座標軸的空間，因此係統的狀態可以表示為此空間中的一個向量。

狀態空間表示法即為一種將物理系統表示為一組輸入、輸出及狀態的數學模式，而輸入、輸出及狀態之間的關係可用許多一階微分方程來描述。

為了使數學模式不受輸入、輸出及狀態的個數所影響，輸入、輸出及狀態都會以向量的形式表示，而微分方程（若是線性非時變系統，可將微分方程轉變為代數方程）則會以矩陣的形式來來表示。

狀態空間表示法提供一種方便簡捷的方法來針對多輸入、多輸出的系統進行分析並建立模型。一般頻域的系統處理方式需限制在常係數，啓始條件為0的系統。而狀態空間表示法對系統的係數及啓始條件沒有限制。 ^[4]