失真函數

人的視覺、聽覺等對信號的失真有一定的容忍度。然後人們就用失真函數表示失真程度。用信息率失真函數表示在某種程度的失真情形下信源的熵。

假如某一信源X，輸出樣值為a_i，經過失真編碼器，輸出Y，樣值為b_j。對於每一對（a_i，b_j），指定一個非負函數d（a_i，b_j）為單個符號的失真度或失真函數。 ^[1] 

當a_i=b_j，d（a_i，b_j）=0；

當a_i≠b_j，d（a_i，b_j）=α（α>0）；

如果a_i=b_j，i=1，2，…，n，j=1，2，…，則沒有失真。

如果a_i≠b_j，就產生了失真。

失真的大小，用一個量來表示，即失真函數d（a_i，b_j），以衡量用b_j代替a_i所引起的失真程度。

均方誤差失真函數、絕對誤差失真函數和相對誤差失真函數適用於連續信源；誤碼失真適用於離散信源。 ^[1] 

均方誤差失真和絕對誤差失真只與（a_i–b_j）有關，而不是分別與a_i及b_j有關，在數學處理上比較方便。

相對誤差失真與主觀特性比較匹配，因為主觀感覺往往與客觀量的對數成正比，但在數學處理中就要困難得多。 ^[1] 

其實選擇一個合適的、完全與主觀特性匹配的失真函數是非常困難的，更不用説還要易於數學處理。當然不同的信源應有較好的失真函數，所以在實際問題中還可以提出許多其他形式的失真函數。

失真函數d（a_i，b_j）是隨機變量，要分析整個信源的失真大小，只能用它的數學期望或統計平均值來表示。失真函數的數學期望稱為平均失真度，可以表示信源壓縮傳輸時平均每個符號所引起的失真的大小。

平均誤差失真是信源統計特性，信道統計特性和失真度的函數，當以上三個量p（a_i），p（b_j∕a_i），p（a_i，b_j）給定後，平均失真度就不再是一個隨機量了，而變成一個確定的量。 人們所允許的壓縮失真都是平均意義上的失真。 ^[1] 

平均失真由信源分佈p（a_i）、信道的轉移概率p（b_j∕a_i）和失真函數d（a_i，b_j）決定，若p（a_i）和d（a_i，b_j）已定，則調整p（b_j∕a_i）使平均失真度小於或等於D。

D為失真許可的試驗信道。

在上述允許信道PD中，可以尋找一種信道p（a ∕ b），使給定的信源p（a_i）經過此信道傳輸後，互信息I（X；Y）達到最小。該最小的互信息就稱為信息率失真函數R（D）。 ^[1] 

失真在傳輸中是不可避免的。 連續信源輸出的信息量為無窮大，不可能實現無失真信源編碼。接收者（信宿）無論是人還是機器設備，都有一定的分辨能力與 靈敏度，超過分辨能力與靈敏度的信息傳送過程是毫無意義的。即使信宿能分辨、能判別，但對通信質量的影響不大，也可以稱它為允許範圍內的失真。 如果R>C，就必須對信源壓縮，使得壓縮後的R*<C，但同時要求引入的失真不能超過規定的限度。 對於給定的信源，在允許失真的條件下信源熵所能壓縮的理論極限值就是信息率失真函數R（D）。 ^[1] 

綜上所述，一般可以對信源輸出的信息進行限失真處理，降低信息率，提高傳輸效率。