天文重力水準

蘇聯的天文重力水準工作開始於上世紀三十年代，即莫洛金斯基提出這個方法之後。利用蘇聯擺儀全盤重力測量資料按天文重力水準方法求得的似大地水準面高度，曾用於推求克拉索夫斯基橢球的最適合的大地測量起始數據，以後在蘇聯天文大地網的整體平差中又用來歸算觀測值。

衞國戰爭之後，天文重力水準工作獲得了新的發展。莫洛金斯基證明；為了滿足似大地水準面相對於克拉索夫斯基橢球之高度的要求，必須提高精度，即似大地水準面高度的均方誤差不得大於±3米。根據他的建議開始佈設許多精度較高的天文重力水準。以此作為天文大地網中將似大地水準面高度逐步傳遞到基線網的幹線。在這些路線上每隔70~100公里測定一個天文點，其周圍半徑約50公里範圍內根據專門的方案進行加密重力測量，起先是用彈性擺加密，後來用重力儀加密。根據地形的特徵和重力場的複雜程度，以不同的密度進行加密測量，並保證重力垂線偏差分量計算的均方誤差能夠達到0.4″~0.5″。

在上世紀五十年代末期，蘇聯領土上為勘查礦產而進行的詳細重力測量得到廣泛發展。這些測量已保證重力垂線偏差的計算精度達0.45″，許多地區高於0.3″。因此，在大多數情況下有可能在天文測定的正常密度為100公里(最大為200公里)的基礎上，用純室內計算的方法建立具有足夠精度的天文重力水準路線。天文重力水準路線的佈設是這樣的：它儘可能通過已經進行了大量重力測量的地區，而附加的工作只限於測定有限數量的天文點，以及在少數情況下只在半徑不大的範圍內進行加密重力測量。

隨着地球物理重力勘探工作的發展，利用室內計算方法建立了大量新的天文重力水準路線。幾乎所有的天文重力水準路線閉合環變成了周長自1000到4000公里的閉合環。在設計天文重力水準路線時，力求達到天文重力水準的每公里線路先驗誤差達3釐米/√(公里)。個別路線上所得值的範圍為1.5~4.8釐米/√(公里)。

天文重力水準閉合環高差的平差採用與幾何水準閉合環平差相同的方案進行。

對天文重力水準閉合環網上不同點的似大地水準面高度進行了相對於起始點普爾科伐的精度估計，它既顧及天文重力水準本身的誤差，也顧及平面大地座標誤差的間接影響。在蘇聯的大部分領土上所得誤差不超過2米，只在最邊遠地區誤差達6米，其中主要是平面座標誤差的間接影響。

每個天文重力水準閉合環內的似大地水準面高度ζ是利用重力似大地水準面高度ζ'(計算的積分半徑為1000或2000公里)進行內插的，所採用的公式為ζ=ζ'+(ζ-ζ')_內插。

利用一定大小的梯形平均法耶異常在電子計算機上求得值ζ'，在平原梯形的大小為(1°×1°)，在山區為(10′×15′)。這一附加計算的誤差不超過1.5米。因此，總的説來，似大地水準面高度的確定精度既高而又均勻，這對蘇聯天文大地網觀測資料的歸算是足夠的。 ^[2] 

設圖1，A、B為兩個天文點，它們之間的相對座標已由三角測量進行聯繫。因此，它們的相對垂線偏差時可以按天文和大地測量的座標差來推算的。但是，它們之間的距離較長。例如，我國的大地測量的鎖環，一般是100~150公里長，有時達到200公里。我們只在鎖環的交叉點上測有天文座標。如果只用這樣遠的垂線偏差來推算大地水準面的相對高低，必然會導致錯誤的結果。因為，在這樣遠的距離之內，垂線隨時在變化，有的地方大一些，而在另一個地方又小一些，甚至有些地方的變化方向是相反的，絕不可能是從一端均勻地變化到另一端。莫洛金斯基的天文重力水準就是利用重力數據在兩個垂線偏差點之間進行內插。設圖1中的A及B點上的垂線偏差為ε_a及ε_b。它們是在AB方向上的偏差，可以從所推算得到子午線及卯酉圈的偏差ξ，η按AB的方向換算而得。

現在，假定用重力數據推算A及B兩點的垂線偏差，數據只用到一定的範圍，例如，圖1中曲線所畫的範圍Σ。由於沒有考慮到外部範圍，即Σ區域以外的Σ'，垂線偏差將具有一個誤差，設為δε_a，故準確的重力垂線偏差應等於

同樣，在B點也有：

以及中間點C上，有：

如果所用重力資料的範圍是足夠大的，則可以假定δε_c是與離A點(或B點)的距離成比例的。現在，設C點離A及B點的距離各為S₁及S₂，則

或

在另一方面，重力數據所推算的垂線偏差與從天文-大地測量所求得的垂線偏差也不會完全相同.因為，大地測量所推導出來的經緯度是根據一個所採用的參考橢球面推算的，並且也是根據某一箇中心點的假定座標出發的.而前者則接近於絕對值(假如重力資料是足夠的，並且所依據的橢球面是真正的地球橢球面).但是，我們仍舊可以假定，在Σ計算範圍之內，它們之間的差別與距離成比例.現在，假設ε_a，ε_b及ε_c為天文-大地測量的垂線偏差，則

得：

這就是垂線偏差的內插公式，在已經知道了A，B兩點上的天文-大地測量垂線偏差ε_a及ε_b以及重力垂線偏差(ε_a)_g，(ε_b)_g的條件下，即可根據C點上的重力垂線偏差(ε_c)_g以推算它的天文-大地測量垂線偏差ε_c。 ^[3] 

天文、重力水準是國家天文大地測量控制網建設中的重要研究課題。該課題所依據的理論是蘇聯學者莫洛金斯基提出來的，但由於我國地域大、地形複雜的特殊條件，在實際應用中遇到新的理論和技術問題。以方俊為首的研究小組從20世紀50年代中期開始，對此開展了廣泛研究。

1957年，測量製圖研究室與國家測繪總局重力隊一起制訂了平原和山區天文重力水準的“重力測量計劃”，方俊提出了沿全國一等三角鎖佈設高精度和低精度兩種天文、重力水準路線的實施方案。這一方案與蘇聯採用的密佈法相比，在平原地區重力點的數目可減少40%，在山區可減少1/3。節省了人力、時間和經費。

1958～1961年，針對我國平原、山嶽和山區的不同條件，許厚澤、李瑞浩、駱嗚滓等建立了14000km²的鄂西北天文水準試驗場，開展天文、重力水準佈設與計算的試驗研究。實驗場內施測了9個三等天文點、253個重力點，完成了山嶽地區天文水準和天文重力水準試驗的計算任務，得出利用天文水準代替重力水準，既保證精度，又減少了工作量的結論。1958年，方俊在平原地區的天文、重力水準計算中提出了以平均重力異常為基礎的方俊模板計算方法，將莫洛金斯基的橢圓一雙曲線座標模板改為直角座標模板，使係數的計算大為簡化，且精度優於前者。這一研究成果以《天文、重力水準的方俊模板》在《中國科學》上發表，很快引起國際上的重視，先後被編入蘇聯、東歐及我國的教科二阮稱為“方俊模板計算法”，還被1960年莫洛金斯基的著作所引用。事隔20年後的1979年，方俊又設計了按單獨天文點先行計算然後拼接的新方案，突破了將兩個天文點合併計算的傳統思想，避免了大量的重複計算，使計算工作量減少70%，且便於計算機程序的編制。在同一時期方俊還發表了《顧及扁率一次項的地球表面形狀問題》一文，對扁率級斯托克斯問題提供了新的解法，豐富了大地重力學理論。

1961～1965年的主要研究工作有：

(1)許厚澤提出了維寧曼尼茲垂線偏差中函數最佳逼近問題的解法，改進了權威的莫洛金斯基逼近公式，建立了一種扁率級的高程異常和垂線偏差統一逼進模型理論；又在天文重力水準計算中提出了處理天文、重力水準的極圓座標模板，因其計算簡便、精度高，被國家測繪部門採用；在鄂西北山區高精度天文、重力水準試驗網的數據處理中，結合山區地形複雜的實際情況，許厚澤還使用了空間重力異常的間接內插法，即現代廣泛使用的移去恢復法。

(2)李瑞浩參與並組織了我國天文、重力水準網方案的制定和實施，建立青藏地區重力控制網；完成武昌原點的絕對垂線偏差實施方案的研究；還提出了鄂爾多斯地區代表誤差和內插誤差公式，確定了山區重力代表誤差和內插誤差的數值；利用球函數法研究我國重力場分佈，構建了中國重力場球函數展式模型，解決了國際重力公式對中國的適應性問題；在天文、重力水準的計算中，解決了莫洛金斯基計算方法中極區非線性問題。

(3)駱鳴津發表了《用球函數解算重力測量的基本微分方程》，該文的主要結論為：在保持外空擾動位函數不變時，可將地面的擾動位解析延拓到球面上。這與國際著名地球物理學家貝亞哈馬(Bjerhanmmar)同年發表的論文觀點一致。 ^[4]