多重比較法

通過方差分析，若檢驗得各水平均數之間無顯著性差異，則不需作進一步處理，但是當各水平均數之間有顯著性差異時，則需進一步分析哪些水平間的差異是顯著的，哪些是不顯著的，這種比較稱為多重比較法 ^[2]  。

因為方差分析的主要目的是通過F檢驗討論某因素對指標的影響與否，藉以對兩組以上的平均數進行差異的顯著性檢驗，得到一個整體性的檢驗結果。如果經F檢驗的結果差異不顯著，説明試驗因素對試驗指標無顯著影響，至此檢驗結束。如果檢驗結果差異顯著，則只是説明試驗因素的所有水平作為一個整體對試驗指標的影響顯著，而不能説明各水平兩兩之間的差異顯著。因為各水平組中只要有一對平均數的差異顯著就會導致方差分析結果的差異顯著。若想找出哪一對或哪幾對均數的差異顯著，則需進一步對各水平組的平均數進行比較。當然這不能用t檢驗進行比較，而需要用多重比較法進行檢驗。

多重比較與方差分析聯繫密切，但多重比較並不一定非要在方差分析之後進行。有時對多個均數進行兩兩比較，可直接使用多重比較法。由此可知，多重比較法實際上是一種檢驗

是否成立的方法，具體的檢驗方法很多，常用的有： 圖基法、謝弗法、鄧肯法等 ^[3]  。

多重比較法的一般提法是：假設要比較m個未知參數μ_i(i=1，…，m)，其估計量_i服從正態分佈N (μ_i，a_iiσ²)，

和

的協方差

，其中

是未知常數，a_ij是已知常數。特別，若a_ii=1，a_ij=0(i≠j)，則μ₁，…，μ_m是m個獨立等方差正態總體的均值。多重比較法，基於μ₁， …，μ_m的一類線性函數——線性對比

(c_i已知且

)，求出一切線性對比的聯合置信區間，進而找出非零線性對比，並據此在m(m-1)/2對參數中找出差異顯著者。

圖基法(Tukey's Method)又稱T多重比較法，是用來比較均值

和

(g≠h)的所有可能的兩兩差異的一種聯立檢驗( a simultaneous test) ( Tukey,1953)。目標是為所有兩兩比較構建100(1-α)%的置信區間。

這種方法的基礎是學生化的極差分佈( studentized range distribution)。令r為從均值為μ、方差為σ²的正態分佈中得到的一些獨立觀察的極差(即最大值減最小值),令v為誤差的自由度數目(多重比較中為N-G)。則學生化的極差可以定義如下:

這樣，圖基法就給出瞭如下的均值比較的置信區間:

其中,c_g是G組中的任意比對( arbitrary contrasts) ,通常有約束條件為

。

圖基法原本設計為比較兩個均值μ₁和μ₂，故在“±”號後的第一項就成為:

雖然以上方法要假定各組容量相等，圖基(Tukey,1953)和克雷默( Kramer ,1956)也發展出一種修正後的檢驗,其中在式(2)中用

的諧和均值替換了n_g。在許多統計教材中都有q的分佈 ^[4]  。

謝弗法( Scheffé's method) 又稱S多重比較法，也為多重比較構建一個100(1 -α) %的聯立置信區間( Scheffé,1953,1959)。區間由下式給出:

其中，

，表示自由度為G-1和N-G的F分佈的100(1 -α)百分數點。

謝弗法更具有普適性，因為所有可能的對比都可用它來檢驗統計顯著性，

而且可為參數的相應線性函數構建置信區間 ^[4]  。

作為兩種主要的多重比較方法，圖基法和謝弗法各有其優缺點，總結如下：

1.謝弗法可應用於樣本量不等時的多重比較，而原始的圖基法只適用於樣本量相同時的比較。

2.在比較簡單成對差異( simple pairwise differences)時，圖基法最具效力，給出更窄的置信區間，雖然它對於廣義比對( general contrasts) 也可適用。

3.與此相比，對於涉及廣義比對的比較，謝弗法更具效力，給出更窄的置信區間。

4.如果F檢驗顯著，那麼謝弗法將從所有可能的比對(contrasts)中至少檢測出一對比對是統計顯著的。

5.謝弗法應用起來更為方便，因為F分佈表比圖基法中使用的學生化極差分佈更容易得到。

6.正態性假定和同方差性假定對於圖基法比對於謝弗法更加重要 ^[4]  。