多維標度法

多維標度法(MDS)是著名計量心理學家謝潑德(Shephard)和克魯斯克(Kruskal)分別於1962年和1964年發展起來的一種計量心理學技術。多維標度法是基於研究對象之間的相似性將研究對象在一個低維的(一般小於等於二維)的空間形象地表示出來，進行聚類或維度內含分析的一種圖示法。説得詳細一點，MDS是這樣一種方法：在Ⅳ個物品中已知它們的相似度(或距離)，要尋找一個低維空間表示，使物品間的親近(Droximitv)關係能和原來的相似度有一個近似的匹配。這個匹配的數量近似，可以用一個稱為克魯斯克係數“Stress”的指標來表達。多年來多維標度法所涉及的研究對象甚廣。

1970---1972年格林(Green)及其同僚將多維標度法應用於市場研究方面，主要研究消費者的態度，衡量消費者的感覺和偏好。運用多維標度法將消費者對各種品牌產品的偏好和感覺資料，變換成空間座標圖。用座標圖中的點代表各種品牌；各點之間的距離則表示各種品牌在消費者心目中的相似或差異程度；各點到座標的距離則表示消費者對某一品牌、某種特性的評價。這種方法將消費者對各種品牌之間的相似或差異程度的評價，用距離及圖形表示出來，因此具有形象直觀的特點。這裏的輸入資料是消費者對各種品牌產品之間的相似或差異程度的評價，其輸出則是與品牌有關的特性以及各種品牌在各特性中的位置。因此，多維標度法是用間接方法推斷出品牌有關的特性。在許多情形中，我們可能不知道那些特性與品牌有關，或者應答者不能夠或不願意準確地回答，這時必須採用間接推斷的方法。

廣義的MDS可以將聚類分析和對應分析(Correspondence Analvsis)也包括進來。根據它所利用的信息來看，多維標度法可以分為兩大類：一類稱為非度量的MDS(nonmetric MDS)；另一類為量度的MDS(metric MDS)。前者使用了研究對象間距離(或相似度)的排序信息，而後者用的是實際上的數量指標。 ^[2] 

這種研究方法不需要事先知道反映研究對象具有多少個指標以及對指標的觀察或測量數據等，而僅僅需要知道的是研究對象的某種距離(不一定是歐氏距離)或相似性等即可。如下面將要介紹的英國12個城市之間的公路距離，畫出在二維空間上的一個平面圖，從而可以更直觀的觀察各個城市之間的遠近距離也可對各個城市進行分類等。

多維標度法按數據的尺度水平不同，可分為計量和非計量兩種：所謂計量數據，就是按間隔尺度或比例尺度測定的數據，也稱為定量數據；所謂非計量數據，就是按名義尺度或順序尺度確定的數據，也稱為定性數據；因此多維標度法也可分為計量的多維標度法和非計量的多維標度法。

多維標度法的產生與發展，和它在心理學各個分支中的應用是分不開的，20世紀40年代是它的萌芽和準備時期，50年代是計量多維標度法的發展時期，1952年Torgerson首先給出了計量的多維標度法的數學模型，為以後的發展奠定了基礎，60年代是非計量的多維標度法的發展時期，70年代以後上面提出的各種方法趨於成熟，出現了許多近似計算法，並且提出了許多新的方法和模型，從應用角度來説，在50年代多維標度法僅應用於心理學，60年代又應用於銷售和消費領域中，從70年代以來，多維標度法的應用範圍迅速擴大，已應用於交通、社會學、生態學及地質學等領域。 ^[1] 

多維標度法解決的問題是：當N個對象(Object)中各對對象之間的相似性(或距離)給定時，確定這些對象在低維空間中的表示(感知圖，Perceptual Mapping)，並使其儘可能與原先的相似性(或距離)“大體匹配”，使得由降維

引起的任何變形達到最小。多維空間中排列的每一個點代表一個對象，因此點間的距離與對象間的相似性高度相關。也就是説，兩個相似的對象由多維空間中兩個距離相近的點表示，而兩個不相似的對象則由多維空間中兩個距離較遠的點表示。多維空間通常為二維或三維的歐幾里得空間，但也可以是非歐幾里得三維以上空間。

多維標度法內容豐富、方法較多。按相似性(距離)數據測量尺度的不同，MDS可分為：度量MDS和非度量MDS。當原始相似性(距離)的實際數值為間隔尺度和比率尺度時稱為度量MDS(Metric MDS)；當原始相似性(距離)

為等級順序(即有序尺度)而非實際數值時稱為非度量MDS(Nonmetric，MDS)。按相似性(距離)矩陣的個數和MDS模型的性質，MDS可分為：古典多維標度(CMDS)(一個矩陣，無權重模型)、重複多維標度(Replicated MDS)

(幾個矩陣，無權重模型)、權重多維標度(WMDS)(幾個矩陣，權重模型)。 ^[3]