壓縮感知技術

壓縮感知（Compressive Sensing, Compressed Sensing, or Compressed Sampling，簡稱CS），是近幾年流行起來的一個介於數學和信息科學的新方向，由Donoho、Candes、Terres Tao ^[1]  等人提出，挑戰傳統的採樣編碼技術，即Nyquist採樣定理。

壓縮感知理論為信號採集技術帶來了革命性的突破，它採用非自適應線性投影來保持信號的原始結構，以遠低於奈奎斯特頻率對信號進行採樣，通過數值最優化算法準確重構出原始信號。

壓縮感知從字面上看起來，好像是數據壓縮的意思，而實則出於完全不同的考慮。經典的數據壓縮技術，無論是音頻壓縮（例如 mp3），圖像壓縮（例如 jpeg），視頻壓縮（mpeg），還是一般的編碼壓縮（zip），都是從數據本身的特性出發，尋找並剔除數據中隱含的冗餘度，從而達到壓縮的目的。這樣的壓縮有兩個特點：第一、它是發生在數據已經被完整採集到之後；第二、它本身需要複雜的算法來完成。相較而言，解碼過程反而一般來説在計算上比較簡單，以音頻壓縮為例，壓制一個 mp3 文件的計算量遠大於播放（即解壓縮）一個 mp3 文件的計算量。

稍加思量就會發現，這種壓縮和解壓縮的不對稱性正好同人們的需求是相反的。在大多數情況下，採集並處理數據的設備，往往是廉價、省電、計算能力較低的便攜設備，例如傻瓜相機、或者錄音筆、或者遙控監視器等等。而負責處理（即解壓縮）信息的過程卻反而往往在大型計算機上進行，它有更高的計算能力，也常常沒有便攜和省電的要求。也就是説，人們是在用廉價節能的設備來處理複雜的計算任務，而用大型高效的設備處理相對簡單的計算任務。這一矛盾在某些情況下甚至會更為尖鋭，例如在野外作業或者軍事作業的場合，採集數據的設備往往曝露在自然環境之中，隨時可能失去能源供給或者甚至部分喪失性能，在這種情況下，傳統的數據採集-壓縮-傳輸-解壓縮的模式就基本上失效了。

壓縮感知的概念就是為了解決這樣的矛盾而產生的。既然採集數據之後要壓縮掉其中的冗餘度，而這個壓縮過程又相對來説比較困難，那麼我們為什麼不直接「採集」壓縮後的數據？這樣採集的任務要輕得多，而且還省去了壓縮的麻煩。這就是所謂的「壓縮感知」，也就是説，感知和壓縮在同一個步驟完成。

在大量的實際問題中，人們傾向於儘量少地採集數據，或者由於客觀條件所限不得不採集不完整的數據。如果這些數據和人們所希望重建的信息之間有某種全局性的變換關係，並且人們預先知道哪些信息滿足某種稀疏性條件，就總可以試着用類似的方式從比較少的數據中還原出比較多的信號來。到今天為止，這樣的研究已經拓展得非常廣泛了。

但是同樣需要説明的是，這樣的做法在不同的應用領域裏並不總能滿足上面所描述的兩個條件。有的時候，第一個條件（也就是説測量到的數據包含信號的全局信息）無法得到滿足，例如最傳統的攝影問題，每個感光元件所感知到的都只是一小塊圖像而不是什麼全局信息，這是由照相機的物理性質決定的。為了解決這個問題，美國Rice大學的一部分科學家正在試圖開發一種新的攝影裝置（被稱為「單像素照相機」），爭取用盡量少的感光元件實現儘量高分辨率的攝影。有的時候，第二個條件（也就是説有數學方法保證能夠從不完整的數據中還原出信號）無法得到滿足。這種時候，實踐就走在了理論前面。人們已經可以在算法上實現很多數據重建的過程，但是相應的理論分析卻成為了留在數學家面前的課題。

但是無論如何，壓縮感知所代表的基本思路：從儘量少的數據中提取儘量多的信息，毫無疑問是一種有着極大理論和應用前景的想法。它是傳統信息論的一個延伸，但是又超越了傳統的壓縮理論，成為了一門嶄新的子分支。它從誕生之日起到今不過五年時間，其影響卻已經席捲了大半個應用科學。