堆壘數論

又稱加性數論，是關於所謂加性問題的一個數論分支。它主要研究如下類型的問題及其變形：設N是全體非負整數集合;A1,A2,…,As是N的有限個或可數個子集合。試判定對N中的每一n，方程是否可解或其解數r(n)，其中αj∈Aj(1≤j≤n)。這類問題與整數集合的加法性質有關。例如，著名的多角數問題。設整數m≥3,由遞推公式所確定的數(n=0,1,2,…)，稱為m角數。這類數統稱為多角數。易證,顯然四角數就是平方數。1636年，P.de費馬猜測：每個自然數都是 m個m角數之和。J-L.拉格朗日於1770年和A.-M.勒讓德於1798年分別證明了m=4和m=3時猜測是成立的。1813年，A.-L.柯西證明了這個猜測。L.歐拉在研究整數分拆時,注意到由於，所以r(n)的母函數，基於這一點，他提出了母函數法。它是堆壘數論的一個重要研究方法。堆壘數論與模形式論有密切關係。在研究哥德巴赫猜想和華林問題中，近代堆壘數論自20世紀20年代開始發展起來，主要的研究方法有圓法、指數和方法、篩法和密率。

堆壘數論中有以下幾個著名問題。

求不定方程的整數解的個數rs(n),其中s是給定的正整數。例如,r2(3)=0,r2(5)=8,r2(9)=4。平方和問題與模形式有密切關係,rs(n)的母函數。當s≤24時,rs(n)的表達式均已得到。例如，1829年，C.G.J.雅可比證明1919年，G.H.哈代、J.E.李特爾伍德和S.A.拉馬努金利用圓法得到了當s≥5時rs(n)的漸近公式。H.D.克洛斯特曼於1926年和T.埃斯特曼於1962年討論了形如的平方和問題。 ^[1] 

C.哥德巴赫和L.歐拉1742年的數次通信中提出的猜測：①每個大於 4的偶數是兩個奇素數之和。如6=3+3，14=3+11=7+7=11+3；②每個大於7的奇數是三個奇素數之和。如9=3+3+3,15=3+5+7=3+7+5=…=7+5+3=5+5+5。由於2n+1=(2n-2)+3，所以從①成立可推出②成立。1923年，哈代和李特伍德應用圓法研究這兩個猜測，得到了一些重要的條件結果。在此基礎上，И.М.維諾格拉多夫於1937年通過改進圓法和利用他的估計線性素變數指數和方法，證明了每個充分大的奇數n是三個奇素數之和，且其表法個數。基本上解決了猜想。②這一結果通常稱為哥德巴赫－維諾格拉多夫定理或三素數定理。利用他的思想，華羅庚等五位數學家於1937～1938年間各自獨立證明了：幾乎所有的偶數是兩個奇素數之和。1980年，已驗證對所有不超過108的偶數，猜想①是成立的，但是猜想①至今仍未解決，類似猜想②的結果也沒有得到。於是轉而研究較弱的命題{r,s}：每個充分大的偶數是不超過r個素因數的乘積與不超過s個素因數的乘積之和。猜想①大體上就是命題{1，1}。篩法是研究命題{r，s}的主要方法。V.布龍用他所提出的方法即所謂布龍篩法，於1920年首先證明了命題{9,9}。1950年前後,A.賽爾伯格提出了一種篩法，並宣稱利用他的方法可以證明命題{2,3}。1957年,王元利用賽爾伯格篩法首先證明了命題{2，3}。1948年,利用布龍篩法與林尼克篩法，A.雷尼證明了命題{1，s}，這裏的s是一個未計算出的大常數。通過對篩法和大篩法的不斷改進，1962年，潘承洞首先得出s=5；1966年，陳景潤得出s=2是迄今最好的結果,通常稱之為陳景潤定理。

1770年，E.華林推測:每個正整數是4個平方數之和、9個立方數之和、19個4次方數之和等等。其意是他認為：對任意給定的整數k≥2，必有一正整數s(k) 存在，使得每個正整數必是s(k)個非負的k次方數之和,即不定方程(*)對所有整數n≥0有非負整數解xj（1≤j≤s）。1909年,D.希爾伯特用複雜的方法證明了s(k)的存在性，首先解決了華林的這一猜想。其後，ю.Β. 林尼克利用密率於1943年給出了s(k)存在性的另一證明。華林還猜測s(k)的最小值。1770年拉格朗日證明了g(2)=4;1909年A.威弗裏奇證明了g(3)=9。易證g(k)≥2k+。設g(k)是使方程(*)對充分大的n可解的s(k)的最小值。利用g(k)的上界估計,可進一步證明如下結果:①當k≥6，有條件時,則。1964年R.M.斯泰姆勒爾驗證了此條件在6≤k≤200000時成立。1957年K.馬勒爾證明當k充分大時此條件一定成立，並猜測對所有k≥6這條件都成立。②1964年陳景潤證明了g(5)=37，1985年R.巴拉薩佈雷尼安和 F.德雷斯證明了g(4)=19。至此，關於g(k)的研究已基本完成了。

1920～1928年，哈代和李特爾伍德利用圓法研究華林問題。易證方程(*)的解數。他們把區間【0,1】分為K1和K2兩部分，其分法與n有關。於是,。他們想要證明(**)：對於滿足一定條件的s、k，當n→時有。但卻只證明了當s≥2k+1時，式中（n）為某一奇異級數。1957年，華羅庚證明了當s≥k+1時成立， 這是最佳的結果。1938年，華羅庚結合指數和估計方法,證明了（**）式當s≥2k+1時成立。1947年華羅庚和И.М.維諾格拉多夫證明了當k>10，s≥2k2(2lnk+lnk+2.5)時(**)式成立。由於哈代和李特爾伍德的工作,引向討論g(k)：使方程(*)對充分大的n可解的p（k）的最小值。這比討論g(k)更有意義。他們猜測：當k=2m≥4時g(k)=4k；在其他情形,g(k)≤2k+1。易證:當k=2m≥4時,g(k)≥4k;在其他情形,g(k)≥k+1。 由上述的rKs(n)的漸近公式,當然可相應得到g(k)的上界估計。通過進一步的討論可證明更好的結果：g(k)≤k(3lnk+5.2)。1959年維諾格拉多夫將結果改進為當k≥170000時,g(k)≤k(2lnk+4lnlnk+2lnlnlnk+13)。關於小的k值，1939年H.達文波特證明了g(4)=16,1942年林尼克證明了g(3)≤7。後來,對g(k)的估值又得到了一些改進。華林問題可以作各種推廣。例如:①華林-哥德巴赫問題,即把方程(*)中的變數xj限制為素數。華羅庚和維諾格拉多夫有重要貢獻。②多項式華林問題,把方程(*)中的項x忋以ƒ(xj)代替，這裏ƒ(x)是整值多項式；或更一般地以ƒj(xj)代替，這裏ƒj(x)均是整值多項式。例如，取ƒ(x)=x+(m-2)(x2-x)/2,即為多角數問題。關於多項式華林問題有許多研究，華羅庚有重要貢獻。③代數數域上的華林問題，甚至可以討論任意域上的華林問題。在這方面，C.L.西格爾有重要貢獻。 ^[1] 

普勞赫特-塔裏問題

或稱等冪和問題,即對給定的整數k≥2，求出使不定方程組(1≤h≤k)有非顯然解（即y1,y2,…,ys不是x1,x2,…,xs的重新排列）的最小整數s=N（k）。易證。1935年E.M.賴特證明了：當2喣k時，；當2|k時，4)。設M（k）是上述不定方程在條件下有解的最小整數s,rk(P)表此時滿足1≤xj,yj≤P的解數。1938年華羅庚證明了,並於1952年得到了rk(P)的漸近公式。 ^[1]