均勻擬陣

均勻擬陣是隻以有限集E的子集I中包含元素的數目多少決定其獨立性的擬陣U_k，n，其中n=|E|，E的子集B為擬陣的基，當且僅當B由k個元素組成。類似地，C為擬陣的圈，當且僅當C為k+1個元素組成。H為擬陣的超平面，當且僅當H由k-1個元素組成。例如，U_2，3中的E視為歐氏空間裏一條直線上的3點，每一個單點構成U_2，3的超平面，每兩點構成該擬陣的一個基，而全部三個點是它的惟一的圈 ^[1]  。

一個擬陣(matroid)M是一個有序對(E，J)，其中E且是一個有限集合，J⊆2^E是E中子集的集合，它們滿足以下的公理 ^[2]  ：

(I1)∅∈I。

(I2)若I∈J，及I'⊆I，則I'∈J。

(I3)若I₁，I₂∈J且|I₁|<|I₂|，則存在e∈I₂-I₁使得I₁∪e∈J。

E上的擬陣獨立集系的全體記為

(E)。

定義 設n≥r≥0為兩個整數，E是一個n元集，令

J={X⊆E:|X|≤r} ，

則(E，J) 是一個擬陣，這樣的擬陣稱為均勻擬陣。

定理1 設E 是一個有限集，B⊆E，m≤|B|，則令J( m，B，E) = { A∈2^E||A∩B|≤m}∈

(E) ，稱J(m，B，E)是E上的關於集合B的m擬陣獨立集系( 簡稱廣義均勻擬陣獨立集系) ，且稱( E，J(m，B，E) ) 為關於集合B的帶獨立集系的m擬陣( 簡稱廣義均勻擬陣) ，E 上的廣義均勻擬陣的全體記為

。

證明 很顯然J(m，B，E)滿足I1和I2，

下面證明J(m，B，E) 滿足I3，若A₁，A₂∈J(m，B，E) ，且|A₁|<|A₂|，下面證明存在e∈A₂－A₁使得|(A₁∪{e})∩B|≤m，從而J(m，B，E) 滿足I3。

情形一: 若|A₁∩B||A₂∩B|=m，存在e∈A₂－B且e∈A₂－A₁，若不然有任意的e∈A₂－B都有e∉A₂－A₁，即e∈A₁，此時有|A₁|=|A₁∩B|+|A₂－B|= m+|A₂－B|=|A₂∩B|+|A₂－B|=|A₂|，與|A₁|<|A₂|矛盾。 此時有|(A₁∪{e}) ∩B|=m≤m成立。

情形二: 若|A₁∩B|<m，|A₂∩B|<m，對於任意的e∈A₂－ A₁都有|( A₁∪{ e} ) ∩B|≤m，即I3得證。

情形三: 若|A₁∩B|>|A₂∩B|，則一定存在e∈A₂－A₁，且有e∉B，此時有|(A₁∪{e})∩B|=|A₁∩B|≤m。

例1 取E = { 1，2，3，4，5} ，B = { 1，3，5} ( 本題中J_m,B= {I∈2^B||I|≤m} ) ，則

J( 0，B)= {∅，{2} ，{4} ，E－B}=2^E－B⊕J_0,B，

J(1，B) = {∅，{1，2，4} ，{1，4} ，{1，2} ，{1} ，{2，3,4} ，{2，3} ，{3，4} ，{3} ，{2，4，5} ，{2，5} ，{4，5} ，{5} ，{2} ，{4} ，{2，4} } = 2^E－B⊕J_1,B，

J(2，B) = {∅，{1，2，4} ，{1，4} ，{1，2} ，{1} ，{2，3，4} ，{2，3} ，{3，4} ，{3} ，{2，4，5} ，{2，5} ，{4，5} ，{5} ，{2} ，{4} ，{2，4} ，{1，2，3，4} ，{1，2，3} ，{1，3，4} ，{1，3} ，{1，2，4，5} ，{1，2，5} ，{1，4，5} ，{1，5} ，{2，3，4，5} ，{2，3，5} ，{3，4，5} ，{3，5} }= 2^E－B⊕J_2,B，

類似的通過計算，可以得到

J(3，B) =2^E－B⊕J_3,B.

基於例1 可以發現並證明下面的廣義均勻擬陣的構造定理 ^[2]  ：

定理2 設E是一個有限集，B⊆E，m≤|B| ，則

J(m，B，E) = 2^E－B⊕J_m,B．