地圖投影變形

(1)長度比：地面上微分線段投影后的長度ds'與其相應的實地長度ds之比。如用符號μ表示長度比，那麼

(2)長度變形：長度比與1之差值。如用符號

表示長度變形，則

投影后長度變形絕對量γ表示為

當γ>0或μ>1l時，表示投影后長度增加；當γ<0或μ<1時，表示投影后長度縮小；當γ=0或μ=1時，表示投影后長度不變。

投影上的長度比不僅隨該點的位置而變化，而且隨着該點上不同方向而變化。這樣，在一定點上的長度比必存在有最大值和最小值，稱其為極值長度比，通常用符號a和b表示極大與極小長度比。極值長度比的方向稱為主方向。沿經線和緯線方向的長度比分別用符號m、n表示。在經緯線正交投影中，沿經緯線方向的長度比即為極值長度比，此時m=a或b，n=b或a。

(3)面積比：地面上微分面積投影后的大小dF'與其相應的實地面積dF的比稱為面積比，通常用符號P表示，即

(4)面積變形：面積比與1之差值。用符號

表示面積變形，則

投影后面積變形絕對量V表示為

當V>0或P>1時，表示投影后面積增加；當V<0或P<1時，表示投影后面積縮小；當V=0或P=1時，表示投影后面積不變。

(5)角度變形：地面上某一角度投影后的角值β'與其實際的角值β之差，即β'-β。在一定點上，方位角的變形隨不同的方向而變化，所以一點上不同方向的角度變形是不同的。投影中，一定點上的角度變形的大小是用其最大值來衡量的，即稱最大角度變形，通常用符號叫表示。存在以下關係式：

(6)變形橢圓：地球面上無窮小圓在投影年通常不可能保持原來的形獲葙大小，而是投影成為不同大小的圓或磐種形狀大小的橢圓，統稱為變形橢圓。

(7)等變形線：投影上變形值相等的點的連線，有面積比等值線、最大角度變形等值線等。地圖投影略圖上繪有等變形線，用以直觀評價地圖投影的變形分佈狀況和投影使用的優劣。在地圖製圖實踐中為了獲得具有較小的變形及其在製圖區域內變形分佈最均勻的投影，提出使投影上的等變形線與製圖區域的輪廓形狀基本一致的要求，並把它作為投影選擇上的一個基本原則。 ^[2] 

地球球面是一個不可展的曲面，不可能無裂隙、無重疊地展成平面。如果我們將地球儀沿經線或緯線切成若干窄條，在某點或某條線處連接，就可以展成平面。但這種支離破碎的圖形對我們來説毫無意義，必須運用一定的數學方法對重疊部分進行“壓縮”，對裂開部分進行“拉伸”，從而構成一幅連續而完整的地圖。顯然，在經過“壓縮”和“拉伸”的地圖上，經緯線形狀與地球儀上不一致，產生了投影變形。球面展開和連接方式不同，經緯線網形狀及變形情況也不同。

在圖1上，所有經線長度相等，且等於球面上的經線長度，無長度變形；所有緯線長度也相等，因此存在着長度變形。在南北緯45°之間，緯線被壓縮，長度小於球面上相應的長度，而在南北緯45°之外，緯線被拉伸，長度大於球面上相應的長度，不同緯度處，緯線長度變形的大小不同。在圖2上，緯線沒有被拉伸和壓縮，沒有長度變形；經線被拉伸後，長度不等，由中央經線向兩側逐漸增大，故經線存在着長度變形，而且經度不同，長度變形的大小也不同。在圖3上，經線沒有被拉伸和壓縮，長度沒有變形；緯線被拉伸後，除極點外，其餘各條緯線長度均大於球面上相應的緯線長度，故緯線存在着長度變形。顯然，地圖投影存在着長度變形，不同的投影，長度變形的情況不同；在同一投影中，長度變形不僅隨地點的不同而變化，而且在同一地點上還隨方向的不同而變化。

在圖1上，同一經度帶內，緯差相同的網格面積相等，而地球儀上相應的網格面積卻隨緯度的升高而逐漸減小，故存在着面積變形，在圖2上，同一緯度帶內，經差相同的網格面積不等，離中央經線越遠，網格面積越大，而地球儀上相應的網格面積卻相等，故也存在着面積變形。顯然，地圖投影存在着面積變形，不同的投影，面積變形的情況不同；在同一投影中，面積變形隨地點的不同而變化。

在圖2上，除中央經線和赤道正交外，其餘經緯線均不正交，而地球儀上經緯線處處正交。顯然，地圖投影存在着角度變形，而且，不同的投影，角度變形的情況不同；在同一投影中，角度變形隨地點和方向的不同而變化。

由上可知，任何地圖投影都存在着變形，製圖區域越大，變形也越大；在地圖上存在着長度變形、面積變形和角度變形，不同的投影，變形的情況不同，在同一投影中，變形隨地點、方向的不同而變化；任何投影的變形都有一定的變化規律。因此，我們在編圖時，要根據需要選擇地圖投影，控制投影變形的性質、大小和分佈，而在使用地圖時，同樣要了解地圖投影的變形性質和規律，正確閲讀和使用地圖。 ^[3] 

地圖投影的方法很多，用不同的投影方法得到的經緯線網形式不同。用地圖投影的方法將球面展為平面，雖然可以保持圖形的完整和連續，但它們與球面上的經緯線網形狀並不完全相似。這表明投影之後，地圖上的經緯線網發生了變形，因而根據地理座標展繪在地圖上的各種地面事物，也必然隨之發生變形。這種變形使地面事物的幾何特性(長度、方向、面積)受到破壞。把地圖上的經緯線網與地球儀上的經緯線網進行比較，可以發現變形表現在長度、面積和角度三個方面，分別用長度比、面積比的變化顯示投影中的長度變形和麪積變形。如果長度變形或面積變形為零，則沒有長度變形或沒有面積變形。角度變形即某一角度投影后角值與它在地球表面上固有角值之差。

投影變形通常包括三種，即長度變形、面積變形、角度變形。

(1)長度變形。即投影后地圖上的經緯線長度與橢球體上經緯線的長度並不完全相同，地圖上的經緯線長度也並不都是按照同一比例縮小的，這表明地圖上具有長度變形。

在地球儀上經緯線的長度具有下列特點：第一，緯線長度不等，其中赤道最長，緯度越高，緯線越短，極地的緯線長度為零；第二，在同一條緯線上，經差相同的緯線弧長相等；第三，所有的經線長度都相等。長度變形的情況因投影而異。在同一投影上，長度變形不僅隨地點而改變，在同一點上還因方向不同而不同。 ^[4] 

(2)面積變形。即由於地圖上經緯線網格面積不是按照同一比例縮小的，上具有面積變形。面積變形的原因與長度變形直接相關。

在橢球體上，經緯線網格的面積具有下列特點：第一，在同一緯度帶內，網格面積相等；第二，在同一經度帶內，緯度越高，網格面積越小。這表明地圖經差相同的面積變形的情況因投影而異。在同一投影上，面積變形因地點的不同而不同。

(3)角度變形。是指投影面上任意兩方向線所夾之角與原球面上相應的角度之差。角度變形有正有負，是一個變量，它隨着點位和方向的變化而變化。

地圖投影的變形隨地點的改變而改變，因此在一幅地圖上，很難籠統地説它有什麼變形、變形有多大。 ^[5]