四頂點定理

經典的四頂點定理表明，簡單、閉合、平滑的平面曲線的曲率函數具有至少四個局部極值（具體來説，至少兩個局部最大值和至少兩個局部最小值）。 定理的名稱源自於將曲率函數的極值點稱為頂點。 這個定理有許多概括，包括一個空間曲線的版本，其頂點被定義為扭轉點。

四頂點定理是微分幾何關於平面曲線的整體性質的定理。這定理指出，一條簡單閉曲線的曲率函數，如果不是常值，便有至少四個局部極值。更確切地説，這函數有至少兩個局部極大值和兩個局部極小值。 ^[1] 

橢圓具有正好四個頂點：有兩個局部最大麴率，其中橢圓的長軸是交叉的，兩個局部最小曲率，其中橢圓的短軸是交叉的。 在一個圓圈中，每個點都是局部最大值和局部最小曲率。

1909年斯亞馬達斯·穆科帕迪亞亞最先證明這定理對凸曲線（即有嚴格正曲率）成立。他的證明用到了以下結果：曲線上一點的曲率是極值，當且僅當在該點的密切圓與曲線有4點切觸。（密切圓與曲線一般只有3點切觸。）1912年阿道夫·克內澤爾證明了定理在一般情況成立。

多年以來，四頂點定理的證明仍然很困難，但Osserman（1985）基於最小包圍圓的想法給出了一個簡單和概念的證明。這是一個包含給定曲線並具有儘可能小的半徑的圓。如果曲線包含一個圓弧，則它具有無窮多的頂點。否則，曲線和圓必須至少在兩點相切。在每個相切處，曲線的曲率大於圓的曲率（否則曲線將從圓周外的切線而不是內部繼續）。然而，在每對切線之間，曲率必須減小到小於圓的曲率，例如在通過平移圓獲得的點，直到它不再包含兩個切點之間的曲線的任何部分，並考慮最後的翻譯的圓和曲線之間的接觸點。因此，在每對切線之間存在局部最小曲率，給出四個頂點中的兩個。在每對局部最小值之間必須存在局部最大麴率，給出其他兩個頂點。 ^[2] 

四頂點定理的逆定理指，在圓上定義任意連續實值函數，使得有兩個局部極大值和兩個局部極小值，那麼這函數是一條簡單平面閉曲線的曲率函數。1971年赫爾曼·格盧克證出嚴格正函數的情形。他證明在n維球面預先定義曲率的更一般定理，以上結果是其特例。比約恩·達爾貝里在他1998年1月去世前不久，證明逆定理的完整版本。他的證法用到卷繞數，類似代數基本定理的拓撲證明。

這定理的一個推論是，任何在平面上滾動受重力作用的均勻板，都有至少四個平衡點。它的三維推廣並不容易，實際上，存在少於四個平衡點的三維凸均勻體 ^[3] 

定理的一個推論是，在重力作用下在水平面上滾動的均勻的平面圓盤至少具有4個平衡點。 然而，在三維中存在單穩態多面體，並且還存在具有正好2個平衡點（一個穩定的，另一個不穩定的）凸起的，均勻的對象。

對於凸和非凸多邊形，四頂點定理的幾個離散版本，這裏是其中的一些：

（1）具有至少四個頂點的凸形等邊多邊形的角度序列至少具有四個極值。

（2）具有至少四個邊的凸等角多邊形的邊長度序列至少具有四個極值。

（3）如果包含多邊形的所有剩餘頂點，或者在其內部沒有任何頂點，則圍繞具有至少四個頂點的多邊形的三個連續頂點的圓被稱為極值。如果在同一個圓上沒有四個頂點，這樣一個凸多邊形是通用的。那麼每個具有至少四個頂點的通用凸多邊形至少有四個極值圓。

（4）具有平行對應邊和相等面積的兩個凸起的n-gons在對應的邊長度差的循環序列中具有零或至少4個符號變化。

這些變化中的一些比另一個變化更強，並且它們都意味着（通常的）四頂點定理包含有一些極限參數。 ^[4] 

從球體到平面的立體投影保留了測地曲率的關鍵點。 因此，簡單的閉合球形曲線具有四個頂點。 此外，在球體上，曲線的頂點對應於其扭轉消失的點。 因此，對於空間曲線，頂點被定義為扭轉點。 1994年V.D.Sedykh表明，位於凸體邊界上的每個簡單閉合空間曲線都有四個頂點。 在2015年，穆罕默德·高米將Sedykh定理推廣到所有結合局部凸盤的曲線上。