四線擺

四線擺平台可繞中心軸線作扭轉擺動，若將平台沿某一方向拉離平衡位置後放開，平台擺動的軌跡將通過畫筆記錄在這張紙上，稱為四線擺曲線。曲線的多層次結構反映了在阻力的作用下平台擺幅逐漸減小，因此曲線不可能重合。四線擺曲線的形狀隨平台的擺動狀態而變，平行擺動為直線，圓周擺動為螺旋線，扭動擺動則會畫出豐富多彩的曲線，而且沒有任何兩次扭擺畫出的曲線相同。

把平台的擺動分解在兩互相垂直的方向上（設為x 軸和y 軸），平台的小角度扭轉擺動可看作簡諧運動，若它們的頻率相同，振動表達式分別為

x=A1cos(ωt+ф1)

消去參數t，即可得質點的軌跡方程為

x/A1+y/A2 -(2xy/A1A2)cos(ф2-ф1)=sin(ф2-ф1)

一般的説，這個方程式是橢圓方程式，我們先通過幾個特例來説明其意義。

(1)ф2-ф1=0，即兩振動同相

這時x /A1 -y/A2=0

這説明軌跡是一條直線，而且合振動也是簡諧運動，頻率與分振動相同。

(2)ф2-ф1=π，即兩振動反相

這時x/A1+ y/A2=0

軌跡仍是一條直線，合振動仍然是簡諧運動，頻率與分振動相同。振動產生的解釋為運動量 。

(3)ф2-ф1=π/2，-π/2

這時 x/A1+y/A2=1

這表示軌跡是一個橢圓。這種情形中，如果兩分振動的振幅相等，則合振動軌跡為圓。

(4)ф2-ф1 等於其它值

此時合振動軌跡一般是橢圓，其具體形狀（長短軸的方向與大小）合運動的方向由分振動的振幅的大小和相差決定。 下面畫出了8種不同的情形（如圖1），對應於不同的相差。

四線擺的扭轉的過程也就是平台勢能與動能的轉化過程。扭轉的週期由平台的轉動慣量決定。根據擺動週期和有關幾何參數就可以測定擺的轉動慣量。

設平台的質量為m，當以不大的角度作擺動時，它沿軸線上升的高度為h，則增加的勢能為

當平台迴轉到平衡位置時，它具有的動能是

E2 = 1/2Ioωo

式中，Io 是平台對於通過其重心且垂直於枱面軸的轉動慣量，ωo 是平台回到平衡位置時刻的角速度，不計摩擦阻力和空氣阻力，根據機械能守恆定律得

1/2Ioωo= mgh

把平台的小角度扭轉擺動作簡諧運動，則平台的角位移與時間的關係是

式中，θ 是平台在時間t 的角位移，θo 是角振幅，T 是一個完全振動的週期，振動的初相位認為是零。於是角速度為

ω=dθ/dt=2πθo/T （cos2πt/T）

在通過平衡位置的瞬時，t= 0，1/2T，T，3/2T，…，ω 的最大值是ωo= 2πθo/T

於是有mgh = 1/2Io（2πθo/T）*

進一步討論h，θo 與四線擺有關的幾何參數的關係，設懸線長度為l, 上下懸點到中心的距離為r 和R，上下平台間垂直距離為H，則

由於l＞＞h，所以2H-h≈2H。當擺角θo 很小時，則sinθo/2 ≈(θo/2) =θo/4

由此得h = Rrθo/2H

代入* 式可得mg Rrθo/2H =1/2Io （2πθo/T）

Io= mgRrT/4πH

上式是平台對於中心軸的轉動慣量計算式。等式右邊各量R，r，H 和T 都可以直接測出。但應注意上式成立的條件是：θo 很小（θo＜10），四線等長，線上張力相等，上下均水平，而且是繞平台的中心軸扭轉擺動的。

欲測質量為m1的待測物體對於中心軸的轉動慣量，只需將該物體置於平台上，由上式先算得該待測物體和平台共同對於中心軸的轉動慣量

式中，T1為待測物體和平台共同的一個完全擺動週期。於是得到待測物體對於中心軸的轉動慣量為

I1 = I – Io= （m+ m1）gRrT1/4πH – Io

理論分析證明，若剛體繞某軸轉動慣量為I0，當轉軸平行移動距離為d 時，則它繞新軸的轉動慣量變為I= I + md，這就是平行軸定理。我們可以用實驗來驗證這一定理。將兩個質量均為m2 且形狀完全相同的圓柱體，對稱的放在平台上，離平台中心的距離都為d。按上法可測得兩圓柱體繞平台中心軸的轉動慣量為

I2= （m+ 2m1）gRrT2/4πH - I0

將此式所得的I2 與理論上按平行軸定理所得的

I’2 =（1/2）m2（D2/2）+ m2 d

進行比較，上式中D2為圓柱體的直徑，（1/2）m2（D2/2） 為圓柱體繞通過其自身中心軸線的轉動慣量。

有一種地震測量儀就是應用了四線擺的原理。

地震的顫動由三種以上形式的地震波運動組成，它們以不同的速度通過地殼。地震波向不同的方向運動，首先是縱向運動的地震波，其次是橫向運動的地震波，長波沿着地球表面運動。長波運動速度較慢，但運動範圍廣，它造成了我們所見到的一切地震災難。1883年在日本工作的英國地震學家米爾恩等人制成了擺式地震儀。方法是把一枚墜子（擺）掛在長約1.5米的水平吊杆上，吊杆可像門一樣自由橫轉，地面移動時墜子由於慣性趨向靜止，因而相對地面運動。

米爾恩的地震儀後來發展成一種現代地震儀，由三台儀器組成，其中兩台分別記錄地殼東西和南北的水平運動，第三台記錄上下運動（利用彈簧掛起墜子，地震時能上下運動）。

米爾恩之後很多科學家對地震儀器的發展作出貢獻。1888─1889年間，伯希維茨製成了光記錄式水平擺，第一次記錄到遠震（在德國波茨坦記錄到日本1889年4月17日地震）。日本磊森房吉製成水平擺式地震儀，採用機械槓桿放大，燻煙記錄。德國維謝特製成倒立擺式大型水平及垂直向地震儀，提高了放大倍率。此類地震儀的主要原理是一個精巧懸掛着的重物，當地震搖撼了儀器的其他部分時，它保持不動。換句話説，這個重物從某一個固定的支柱上懸垂下來，地震期間他不作任何運動。但是，懸掛着它的支柱在運動，而在此重物下方有一張記錄圖紙與支柱緊緊相連。記錄圖紙移動時，地震的情況就被與重物相連的針記錄在圖紙上了。這張記錄圖紙顯示出地震波到達的時間，運動的力量，甚至可以顯示出地震波的來向。