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平行軸定理
鎖定
平行軸定理定義
平行軸定理、垂直軸定理、伸展定則,這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。
平行軸定理也可以應用於面積二次矩(面積慣性矩):
這裏,
是對於 z-軸的面積慣性矩、
是對於平面質心軸的面積慣性矩、A是面積、d是 z-軸與質心軸的垂直距離。
因雅各·史丹納(Jakob Steiner) 而命名,史丹納定理所指的幾個理論,其中一個理論就是平行軸定理。
設通過剛體質心的軸線為Z軸,剛體相對於這個軸線的轉動慣量為Jc。如果有另一條軸線Z‘與通過質心的軸線Z平行,那麼,剛體對通過Z‘軸的轉動慣量為 J=Jc+md2。
式中m為剛體的質量,d為兩平行軸之間的距離。
上述關係叫做轉動慣量的平行軸定理。
平行軸定理進階理論
平行軸定理能夠很簡易的,從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量,轉換至另外一個平行的座標系統。
對於三維空間中任意一參考點 Q 與以此參考點為原點的直角座標系Qxyz ,一個剛體的慣性張量
是
這裏,對角元素
分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定
為微小質量
對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩,可以精簡地用方程定義為
而非對角元素,稱為慣性積, 可以定義為
假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量
,質心 G 的位置是
,則剛體對於原點 O 的慣性張量
,依照平行軸定理,可以表述為
平行軸定理實例
思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量,
質心 G 的位置是
。依照平行軸定理,實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為
因此,實心長方體對於點 O 的慣性張量是: