關聯繫統

假定系統由n個部件組成。若所有部件只有正常和失效兩狀態，令 ^[2] 

用x=(x1,x2,......,xn)表示部件狀態向量。假定系統亦只有正常和失效兩狀態，且系統正常與否完全由系統的結構和部件的狀態所決定。這樣，對給定的部件狀態向量x，系統的狀態可表示為

則稱φ(x)為系統的結構函數。

定義1 設P是系統的結構函數，若對任意的：x≤y有 ^[2] 

φ(x)<φ(y)

則稱φ是單調結構函數，或單調系統，記作φ∈{MS}。顯然，單調結構函數反映了部件狀態的改善不會使系統變壞。進一步，引入

記號

定義2 若對某個部件i，存在x使φ(0i,x)=0,φ(1i,x)=1，則稱部件i與系統有關。

上述性質稱為部件與系統的關聯性。反之，若某個部件i，對所有x都有φ(0i,x)<φ(1i,x)，則部件i與系統無關，即不論部件i是好還是壞(xi=l或xi=0)，在任何情況下對系統都沒有影響。從可靠性的角度來看，無關部件對系統不起任何作用。 ^[2] 

定義3 若系統具有單調結構函數φ，且系統中的所有部件都與系統有關，則稱系統為單調關聯繫統，記作φ(∈{CS}。

n個部件的串聯繫統是單調關聯繫統，其結構函數為

並聯系統也是單凋關聯繫統，其結構函數為

在可靠性理論中常用下列特別的記號：對任意的0≤pi≤1(i=1,2,......,n)，有

因此並聯系統的結構函數可表示為

k/n(G)表決系統的結構函數是

如果每個部件都與系統有關，但系統是非單調系統，則稱系統為非單調關聯繫統。在實踐中遇到的大多數系統是單調關聯繫統。至於非單調關聯繫統有時也會見到，例如在帶反饋的自動控制系統中經常會出現這類系統 ^[2]  。

如果認為結構函數是關於系統和單元的可靠性的一種表示方式，那麼它自然應具有以下性質。 ^[3] 

(1)Φ(1)=1，Φ(0)=0。

(2)若x≥y(定義為xi≥yi，i=1，2，…，n)，則Φ(x)≥Φ(y)。

性質(1)表明，所有單元都工作時系統也工作，所有單元都發生故障時系統也發生故障；性質(2)則表示當某些失效單元恢復工作而其他單元的狀態保持不變時，系統不可能變得更差。例如，有一系統滿足

Φ(1,0,1)=0 ; Φ(1,0,1)=1 (1,0,1)≥(1,0,1)

該系統就不滿足性質(2)。但這恰恰説明了這樣的反常狀態：由於重新工作的單元3發生了故障，系統從故障狀態回到了工作狀態。性質(2)排除了這種反常狀況。這意味着，當系統處於故障狀態時，由於工作單元發生故障，系統不會恢復到工作狀態；相反，也不會出現當系統工作時，由於故障單元恢復工作狀態而系統故障。具有性質(2)的結構函數稱為單調結構函數，因為函數Φ具有單調性。對應的系統稱為單調系統。

引入如下記號

對結構函數Φ(x)，如果對所有的

均有Φ(1i,

)=Φ(0i,

)

則稱單元i為無關單元(因為它對系統正常與否無任何影響)。不包含無關單元的單調系統稱為單調關聯繫統，簡稱關聯繫統。顯然，單調系統中如有無關單元，則只要去掉全部無關單元，剩下部分組成的系統必是單調關聯繫統 ^[3]  。

可以證明，單調關聯繫統具有概論中的性質(1)和性質(2)之外，還具有如下兩條性質。 ^[3] 

1.

2.對x=(x1，x2，…，xn)，y=(y1，y2，…，yn)，若記x∧≤y=(x1∧y1，x2∧y2，…，

xn∧yn)，x∨y=(x1∨y1，x2∨y2，…，xn∨yn)，則

上述的性質(3)説明在所有的單調關聯繫統的結構函數中，串聯繫統的結構函數是最小的，而並聯系統的結構函數是最大的。性質(4)則進一步説明了結構函數妒的單調性 ^[3]  。