單純剖分

單純剖分(simplicial subdivision)是一種組合構形。它是對於平面上三角形所做的一種三角剖分。若在這個三角剖分中，任何兩個三角形的公共部分不是點就是其中一個三角形的邊，則稱它為單純剖分。它是將一個高維單形剖分為低維單形的並的一種特別情形。在一個單純剖分上，若將原三角形的三個頂點分別標上0，1和2，然後，將它內部的所有三角形的每個頂點標以0，1或2，使得在原三角形邊上的小三角形的每個頂點的標號均與此邊兩端之一的標號相同，則稱這樣的標號為正常標號。在這種標號中，三個頂點的標號互不相同的三角形稱為顯三角形。當然，原三角形本身就是一個顯三角形。施佩納(Sperner，E.)於1928年證明了一個引理。它的二維情形是説：在單純剖分上的任何正常標號都有奇數個小顯三角形。這就是施佩納引理。它對於建立求一個連續映射的不動點的算法起了重要的作用。

拓撲圖是圖論的一個重要概念。能夠嵌入在某一拓撲空間T中的圖G稱為拓撲圖。即，圖G的頂點為拓撲空間T中的點，邊為連結其兩端點的簡單曲線，且任意兩邊除端點可能公共外無其他公共點。若拓撲空間T為曲面S且S\G的每個連通片都是單連通區域，則稱G為曲面S上的地圖，記為M.用G(M)表示由M的頂點和邊所構成的圖。地圖M的可定向性是由曲面S的可定向性確定的。即，若S為可定向的，則稱M為可定向地圖；否則稱M為不可定向的。曲面S的虧格稱為地圖M的虧格。若記v，ε和φ分別為M的頂點數、邊數和麪數，則：

E(M)=v-ε+φ

事實上，這個公式是於1812-1813年間由呂里爾(Lhuilier，S.J.)給出的。因為歐拉(Euler，L.)第一個注意到這類關係，這個公式仍稱為歐拉公式。其中E(M)稱為地圖M的歐拉示性數。

對於地圖M，在其每一面的內部選取一點作為頂點；對於每條邊e，將與其關聯的兩面中選定的頂點用一條簡單曲線e′連結，使得e′除與e有一個公共點外不與M的其他任何邊有公共點。這樣得到的地圖M′稱為M的對偶地圖。這裏的對偶性也是對稱的。即，若M′為M的對偶地圖，則M也為M′的對偶地圖。若(不)可定向地圖M對於任何虧格小於M的虧格的(不)可定向地圖M′，G(M)與G(M′)是不同構的，則稱M是(不)可定向的最大地圖。因為在所有那些與G(M)同構的地圖中，這個M的面數最多。若M是曲面S上的地圖，且M的每個面都是三角形，則稱M是S的一個三角剖分。凡三角剖分都是最大地圖，但反之則不然。另一方面，若(不)可定向地圖M，對於任何虧格大於M的(不)可定向地圖M′，G(M)與G(M′)不同構，則稱M為最小地圖。因為在所有與G(M)同構的地圖中以這個M的面數為最少。若一個地圖僅有一個面，則稱它為單面地圖。凡單面地圖均是最小地圖，但反之則不然。

德國數學家。生卒地不詳。先後曾在柯尼斯堡、施特拉斯堡、弗賴貝格、波恩等地工作。1945年以後，任漢堡大學教授。施佩納的主要貢獻在近世代數(有施佩納代數、施佩納格等)和一般拓撲學(有施佩納空間)等方面。著作有《矩陣論教程》(1932;合著)和《解析幾何與代數學引論》(1931—1935;合著)等，後者包括了近世代數、矩陣論和射影幾何等方面的內容。 ^[1]