單位載荷法

單位載荷法是英國的J．C．麥克斯韋於1864年、德國的O．莫爾幹1874年分別獨立提出，故又稱麥克斯韋－莫爾法。它常用於解決杆、杆繫結構和薄壁結構的問題，對靜定結構和靜

不定結構都適用。單位載荷法的原理如下：設結構上作用一個真實的廣義力系(見廣義力)P_i(i=1，2…，n)，併產生變形(如圖1所示)，欲求結構上j點在P_i作用下的位移，可在j點處加一虛設的單位載荷P_j=1(如圖2所示)。該虛設載荷的形式必須同所求位移相對應。求線位移時，虛設載荷取單位力；求角位移時，虛設載荷取單位力矩。根據虛功原理，P_j=1在實際力系P_i引起的沿P_j方向的位移△_ji上所作的外虛功△_ji，在數值上等於P_j引起的內力在實際變形過程中所作的內虛功(包括彎曲的內虛功、拉伸或壓縮的內虛功和剪切內虛功) ^[3]  ，即

上式右端有兩組廣義內力：M、N、Q分別為實際載荷引起的彎矩、軸力和剪力；

，

，

分別為虛設單位載荷引起的彎矩，軸力和剪力；K是與結構截面形狀有關的係數；d_s為結構跨度微元；

為求和號，表示對所有構件求和；E、G分別為材料的楊氏模量和剪切模量；A為構件的截面積；I為構件截面的慣性矩。

關於內力的正負號有如下規定：軸力N以拉為正；剪力Q以使結構微段順時針轉動為正；彎矩M只規定乘積的正負號，當M和使杆件同側纖維受拉時，取正號。

根據各類結構的特點，位移計算公式可作相應簡化：

①桁架位移計算公式：式中l為桁架中所考慮杆件的長度。

②梁和剛架位移計算公式：

③桁架混合結構位移計算公式：

④拱的位移計算公式：

^[4] 

單位載荷法將實際狀態作為k狀態，並應用虛力原理導出結構位移計算的一般公式。虛擬的i狀態的載荷可以根據計算需要進行假設，它與實際狀態是無關的。如果假設虛擬的i狀態只有一個單位載荷P_i=1，則虛功方程式

(4-19)化為式(4-20),見右圖，在式(4-20)中，因k狀態為實際狀態，故省略下標k，d_u、d_φ、d_v即表示實際狀態結構杆件微段的變形；由虛設單位載荷P_i=1產生的內力表示為

，

，

△_i則表示在虛設單位載荷P_i=1處沿載荷方向的結構實際位移。 ^[5] 

在式(4-20)中，虛擬狀態的單位載荷可以根據計算需要而設置在結構的任意位置，式中的待求位移△_i,既可以是一般的線位移，也可以是任意的廣義位移。但必須注意，當所求的位移是廣義位移時，則設置的單位載荷也應該是與廣義位移對應的廣義單位載荷。這裏廣義位移與廣義力的對應關係與式(4-19)計算外力功時所作的説明是一致的。當△_i為線位移時，對應的P_i應設置為單位力；△_i為角位移時，對應的P_i應設置為單位力偶；當△_i為相對線位移時，對應的P_i應設置為一對大小相等、方向相反的單位力；△_i當成為相對角位移時，對應的P_i應設置為一對大小相等、方向相反的單位力偶。 ^[5]