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命題的否定
鎖定
- 中文名
- 命題的否定
- 別 名
- 負命題
- 概 念
- 與原命題真值相反
目錄
- 1 基本概念
- 2 與否命題辨析
- ▪ 原命題的否定與否命題
- ▪ 誤區
- 3 例子
命題的否定基本概念
原命題：若p，則q（p為條件，q為結論）
原命題的否定：並非“若p，則q”，等價於p且﹁q（p為條件，﹁q為q的否定）
否定一個命題，需要使它的真值取反。
對原命題的否定的一個普遍誤解是僅需否定結論，下表可以幫助理解：
p | q | p-＞q | ﹁p∨q | p∧﹁q | p-＞﹁q |
T | T | T | T | F | F |
T | F | F | F | T | T |
F | T | T | T | F | T |
F | F | T | T | F | T |
命題的否定與否命題辨析
命題的否定原命題的否定與否命題
對於簡單命題，原命題的否定和否命題是同一個命題。
比如，原命題：所有自然數的平方都是正數
原命題的數學表達式：∀x∈N+，x²＞0
否命題的數學表達式：∃x∈N+，x² ≤0
對於複合命題“如果p，那麼q”，如果一個命題的條件和結論分別是原複合命題的條件和結論的否定，則該命題是原命題的否命題。此時，原命題的否定和否命題不同。
比如，原命題：p→q
原命題的否定：￢(p→q) ↔ (p∧￢q)
否命題表達式：￢p→￢q
對於複合命題，原命題的否定與否命題對應於不同的表達式，二者不等價。一個命題與它的否定是完全對立的，兩者之間有且只有一個成立；而對於否命題，它是否成立和原命題是否成立沒有直接關係。
命題的否定誤區
（1）一般認為，命題的否定只否定原命題的結論，而否命題則否定原命題的條件和結論。如原命題(p→q)的否定是(p∧￢q)，而其否命題是(￢p→￢q)。
原命題的否定(p∧￢q)即肯定原命題的條件而“否定原命題的結論”；否命題(￢p→￢q)則同時否定原命題的條件和結論。需要注意的是，以上兩個命題表達式中的邏輯連接符“∧；→”不同，此處易引起混淆。原命題的否定否定了原命題的結論，則q為假，￢q為真；否命題否定原命題的條件和結論，但並未斷言p或q的真值，只表示“如果￢p，則￢q”。故，“命題的否定只否定原命題的結論，而否命題則否定原命題的條件和結論”的説法原則上正確，但不夠嚴謹。
（2）在討論原命題的否定和否命題的關係時應注意確認原命題前後保持一致。錯誤的例子如：
原命題是“若 a＞0，則 a+b＞0”
原命題的否定是“存在 a＞0, 使得 a+b≤0”
否命題是“若 a≤0，則 a+b≤0”
上例的錯誤在於，原命題的否定和否命題所應對應的原命題不同。其中，原命題的否定所對應的原命題是“∀a＞0，a+b＞0”；而否命題所對應的原命題則是“若 a＞0，則 a+b＞0”。“∀a＞0，a+b＞0”和“若 a＞0，則 a+b＞0”是不同的命題，不可混為一談。
命題的否定例子
1.原命題： 如果一個三角形的三個角全都是鋭角，那麼這個三角形是鋭角三角形。（真）
命題的否定：有一個三角形，它的三個角全都是鋭角，且這個三角形不是鋭角三角形。（假）
否命題： 如果一個三角形的三個角不全都是鋭角，那麼這個三角形不是鋭角三角形。（真）
2.原命題：若a＞0,則a＞2
命題的否定：並非“若a＞0,則a＞2”，即“a＞0且a≤2”
否命題：若a≤0,則a≤2
