同調論

本書是綜合大學、高等師範院數學系研究生基礎課教材，全書共分五章，系統講述同調論的基本理論和方法。 ^[1] 

第一章奇異同調 ^[2] 

1範疇與函子

1.1範疇

1.2協變函子

1.3反變函子

1.4簡單的推論

2鏈復形與鏈映射

2.1鏈復形及其同調羣

2.2鏈映射及其誘導同態

2.3鏈同倫

3奇異同調羣

3.1奇異單形

3.2奇異鏈復形與奇異同調羣

3.3簡約奇異同調羣

3.4奇異同調的同倫不變性

3.5與基本羣的關係

3.6u—小奇異鏈

4Mayer—Vietoris同調序列[1]

4.1同調代數的基本知識

4.2Mayer—Vietoris同調序列

5球面Sn的拓撲性質

5.1球面Sn的同調羣

5.2球面映射的度

5.3Jordan—Brouwer分離性

6映射的簡約同調序列

6.1貼空間

6.2映射的簡約同調序列

6.3粘貼胞腔

6.4射影空間的同調羣

第二章相對同調與上同調

1相對同調羣

1.1空間偶的相對同調羣

1.2切除定理

1.3空間三元組的同調序列

2局部同調羣，局部定向與映射度

2.1局部同調羣

2.2流形的局部定向

2.3胞腔和球面的定向

2.4有向球面的映射度

3帶係數的同調羣

3.1自由Abel羣的張量積函子—G

3.2Abei羣的張量積

33協變函子—G

3.4帶係數的奇異鏈復形和奇異同調羣

3.5Eilenberg—Steenrod公理

3.6簡約同調羣的公理

4上同調羣

4.1同態羣Hom（A，B）

4.2反變函子Hom（—，G）

4.3上鍊復形與上同調羣

4.4奇異上同調羣

4.5用上鍊直接描述

4.6上同調的Eilenberg—Steenrod公理

4.7上下同調羣的Kronecker積

4.8域係數的奇異鏈羣與同調羣

4.9de Rham定理簡介

第三章胞腔同調

1胞腔復形與胞腔映射

1.1胞腔復形

1.2胞腔映射

1.3拓撲空間的cw逼近

2胞腔鏈復形與胞腔鏈映射

3胞腔同調定理

3.1胞腔同調定理

3.2胞腔同調定理的推論

3.3帶係數的胞腔同調與胞腔上同調

3.4單純復形與單純映射

3.5單純鏈復形與單純鏈映射

3.6有序單純復形

4胞腔同調的計算

4.1胞腔的定向

4.2胞腔鏈羣的基

4.3胞腔鏈映射的描述

4.4胞腔邊緣同態的描述

4.5實射影空間的同調羣

4.6乘積復形的胞腔鏈復形 ^[2] 

5Euler示性數與Morse不等式

5.1有限生成Abel羣的構造定理

5.2整數係數的情形

5.3域係數的情形

5.4Morse臨界點理論介紹

6自由鏈復形

6.1自由Abel羣的特殊性質

6.2自由鏈復形的特殊性質[1]

6.3代數映射錐

6.4從同調同態構作鏈映射

6.5定理6.1的證明

7萬有係數定理

7.1初等鏈復形的同調

7.2萬有係數定理的樸素形式

7.3域係數的情形[1]　7.4對偶配對與對偶基

第四章乘積

1復形的乘積

1.1自由鏈復形的張量積

1.2Kunneth公式

1.3胞腔復形的乘積

1.4下同調類的張量積

1.5上同調類的張量積

1.6上下同調類的斜積

1.7胞腔同調中，同調類的乘積

2胞腔上同調中的上積與卡積

2.1上積

2.2卡積

2.3閉單形的稜柱剖分

2.4Alexander—Whitney鏈映射

3奇異上同調中的乘法

3.1奇異上鍊的上積與卡積

3.2在上同調的水平上，上積與卡積的基本性質

3.3分次環與分次模，上同調環與下同調模

3.4上同調環的交換性

3.5準單純復形中的上積與卡積

4實射影空間的上同調環，Borsuk—Ulam定理

4.1實射影空間的上同調環

4.2Borsuk—Ulam定理

5乘積空間的奇異同調

5.1積空間的奇異同調，Eilerlberg—Zilber定理

5.2奇異上同調的叉積

5.3乘積宅間的上積

5.4空間偶的乘積

6相對上同調的上積

6.1相對上同調的上積

6.2Ljusternik—Schnierelman疇數

……

第五章流形

參考文獻

記號表

索引 ^[2]