可微映射

設D是

中的一個區域，稱映射

為（n元m值）向量值函數。顯然，

對應於m個n元函數：

因此，常把映射

用分量表示為

。當m=1時，

就是n元函數。

定義 設D是

中的一個區域，

是以D為定義域的映射，

，如果

則稱當

時

以

為極限，記作

。

當

時，如果

則稱映射

在點

連續；如果

在D上的每一點處連續，則稱

為D上的連續映射或連續的向量值函數。

定理1 設

是從

上某區域D到

的映射，

其中

為常向量，則

(1)

的充要條件是

；

(2)

在點

連續的充要條件是m個n元函數

均在點

連續 ^[1]  。

設D是

中的一個區域，

是以D為定義域的映射，

，如果對於自變量

的增量

，因變量

的增量

可以分解為

其中

是一個

陣，

是m維空間

中的向量，它的各分量均是比

高階的無窮小量，則稱映射

在

點可微，其微分為

其中

，

，這裏的

稱為映射

的Jacobi矩陣，也稱作映射

在點

的導數，常記作

。

如果

在D上的每一點處可微，則稱

為D上的可微映射 ^[1]  。

定理2 設

是從

上某區域D到

的映射，

其中

，則映射

在點

可微的充要條件是諸

在點

均可微，當

在點

可微時，相應的Jacobi矩陣為

此時有

設

，記

；又設

，記

，考察定義於

上的複合映射

，它用分量表示就是

，其中

定理3 如果

均是可微映射，則

上式寫成矩陣形式就是 ^[1]