卡爾松

m×n的非負實數矩陣中，n列每列元素之和的幾何平均值不小於矩陣中m行每行元素的幾何平均值之和。

符號語言即：

(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n (*)

注：“Πx”表示x1，x2，…，xn的乘積，x,y,…表示各行的名稱，共m個。

證明 記A1=x1+y1+…,A2=x2+y2+…,….

由平均值不等式得

(1/n)(x1/A1+x2/A2+…+xn/An)≥[x1*x2*…*xn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

(1/n)(y1/A1+y2/A2+…+yn/An)≥[y1*y2*…*yn/(A1*A2*…*An)]^(1/n)

=[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n),

……

上述m個不等式疊加得

1≥[(Πx)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+[(Πy)/(A1*A2*…*An)]^(1/n)+…

即(A1*A2*…*An)^(1/n)≥(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…

即 A1*A2*…*An≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n

即(x1+y1+…)(x2+y2+…)…(xn+yn+…)≥[(Πx)^(1/n)+(Πy)^(1/n)+…]^n，

因此,不等式(1')成立.

特別地，當n=2時,不等式(*)即為柯西不等式.