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卡拉瑪特不等式
鎖定
- 中文名
- 卡拉瑪特不等式
- 外文名
- Karamata's Inequality
- 中文別稱
- 優超不等式、控制不等式
- 不等式內容
- 若數組A優超於數組B,f為凸函數(上凸函數),則f(A)不小於f(B)
卡拉瑪特不等式不等式內容
定義兩個數組:
若
且
,
,
,
則稱數組A優超於(或優於,英文為majorize)數組B,記作
若數組A優超於數組B,f為一個凸函數(下凸函數),
則
若f為凹函數(上凸函數)則不等號反向。
卡拉瑪特不等式舉例
因為
,所以
;
令
,則
為凸函數,由卡拉瑪特不等式,
注意到一般情況下,
的條件不能改為
,
比如
,但
特殊情況如
單調遞增時,等於改為大於等於是不影響的(實際上可以化歸成等於的情況)
卡拉瑪特不等式簡要證明
令
,則
,
由阿貝爾變換得
其中由凸函數的性質,
卡拉瑪特不等式加權形式
設
,
,
,
且
,
,
,
若
為凸函數,則
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