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卡拉瑪特不等式
鎖定
- 中文名
- 卡拉瑪特不等式
- 外文名
- Karamata's Inequality
- 中文別稱
- 優超不等式、控制不等式
- 不等式內容
- 若數組A優超於數組B，f為凸函數（上凸函數），則f(A)不小於f(B)
卡拉瑪特不等式不等式內容
定義兩個數組：
若
且
，
，
，
則稱數組A優超於（或優於，英文為majorize）數組B，記作
若數組A優超於數組B，f為一個凸函數（下凸函數），
則
若f為凹函數（上凸函數）則不等號反向。
卡拉瑪特不等式舉例
因為
，所以
；
令
，則
為凸函數，由卡拉瑪特不等式，
注意到一般情況下，
的條件不能改為
，
比如
，但
特殊情況如
單調遞增時，等於改為大於等於是不影響的（實際上可以化歸成等於的情況）
卡拉瑪特不等式簡要證明
令
，則
，
由阿貝爾變換得
其中由凸函數的性質，
卡拉瑪特不等式加權形式
設
，
，
，
且
，
，
，
若
為凸函數，則
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