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區域函數
鎖定
區域函數(region function)是一種以區域為自變量的函數,對任意的n∈N+,若D是Rn中的區域,而對D的每個子區域D′,對應着惟一的實數,這個對應關係(法則)F就稱為定義在D上的一個區域函數。若對於D的任意兩個沒有公共內點的區域D₁和D₂,F還滿足F(D₁∪D₂)=F(D₁)+F(D₂)(D₁∪D₂仍為區域時),則F可進一步稱為加性區域函數,n=1時,(加性)區域函數可稱為(加性)區間函數。數學分析中研究區域函數(區間函數)的意義在於,只有加性區域函數(區間函數),才可能用重積分或定積分表示。例如,面積、體積、位移、功等都是加性區域(區間)函數,因此,它們都能用重積分或定積分來進行計算;而像平均速度、平均密度、曲邊梯形的平均高度這些物理量和幾何量,則是沒有加性的區域(區間)函數,所以,它們不可能表示成積分。在數學中,加性區域函數實質上是特殊的測度
[1]
。
- 中文名
- 區域函數
- 外文名
- region function
- 所屬學科
- 數學(高等數學)
- 所屬問題
- 數學分析
- 簡 介
- 以區域為自變量的函數
目錄
- 1 基本介紹
- 2 區域函數的導數—密度函數
- 3 密度函數的積分
區域函數基本介紹
定義 一般地,若變量u隨着區域σ的變化而變化,我們就稱u是區域σ的函數,記為
區域函數區域函數的導數—密度函數
例如,當我們討論非均勻細金屬絲的質量分佈時,為了刻劃質量在各點的不均勻性,就要引進線密度概念。設細絲質量為m₁=m₁(l),它是線段l的函數,M是金屬絲上的點,取含有點M的小段
,
也用來表示這小段的長度,
就是這一段細絲的平均密度;當
收縮到點M時,平均密度的極限值稱為細絲在點M的線密度,記為μ₁(M),這是從區域函數m₁(l)誘導出來的點函數,也就是當
收縮到點M,因而
隨着
的消失而消失時所保留下來的關係。我們也記為μ₁(M)
,隨之有微分公式
其中
是曲線(細絲)的弧長元素。
一般地,設σ是空間Ω的區域,u(σ)是區域σ的函數,區域的度量(長度,面積或體積)仍記為σ,將σ無限細分,使得區域σ收縮到一點M,其度量σ→0,如果
區域函數密度函數的積分
一元函數的微分和積分是高等數學中的一對基本矛盾,它們之間的對立統一,構成一元函數微積分學非常生動豐富的內容,這是辯證法在數學中的一個重要運用,相應地在多元函數的微積分中也是如此,上面已引進了各種區域函數的導數和微分的概念,得到區域函數u(σ)和密度函數μ(M)之間的關係:
。根據對立統一的觀點,如果將
在區域σ上重新無限累加起來,就得到積分:
。由於積分區域的不同,就有各種不同形式的積分;這些積分,無非是各種形式的區域函數罷了。下面分幾方面來敍述
[2]
。
1.直線上的線密度μ₁(x)和單積分
如果已知非均勻細杆的密度μ₁,求細杆的質量m,就是求積分
2.平面上的面密度μ₂(x,y)和二重積分
如果已知薄片的密度μ₂(x,y),求薄片的質量,就是求二重積分
3.體密度μ₃(x,y,z)和三重積分
如果已知物體的密度μ₃(x,y,z),求這物體的質量,就是求三重積分
4.線密度和關於弧長元素ds的積分
空間曲線的弧長,也是由內接折線段長度之和的極限來表達,同平面曲線的情形相類似,空間曲線的弧長微分
曲線段的質量就是質量微元
的無限積累: