勢壘貫穿

電子透過勢壘的概率就可以用貫穿係數T來説明。

電子貫穿係數T隨勢壘寬度a的增加而迅速減小，下表給出的是(U0－E)=5eV時的具體數據。

勢壘很寬或能量差很大或粒子質量很大時，貫穿係數T≈0，隧道效應在實際上已經沒有意義，量子概念過渡到經典力學情形。因此，粒子的隧道效應是微觀粒子的量子力學行為，宏觀粒子是不會發生隧道貫穿效應的 ^[1]  。

勢壘貫穿的根本原因是“測不準原理”，只要你認可測不準原理，就很容易理解勢壘貫穿了，並不需要你去了解複雜的薛定諤方程求解。解釋如下：能量E與時間T是不能同時測準的，時間測量越準確（時間範圍越短），相應的能量就會無法很準確測量。這裏的測不準並不是技術上的問題，而是“測不準原理”產生的真實的範圍變化。也就是説，微觀粒子在極短的時間內，其能量的可能值範圍就會變大，因此，雖然微觀粒子的能量E小於勢壘U，這裏的粒子能量E應該是其可能的能量範圍的平均值。在極短的時間內，粒子會有一個較小的幾率處於這個能量範圍的高端處（即呈現高能狀態），瞬間能量超過了勢壘U。如果勢壘U的空間跨度非常小，這個只能存在極短時間的高能粒子將可以越過勢壘，越過勢壘之後，粒子的能量重新回覆到正常大小。簡單地説，就是先憑空”借”來能量，成功穿越後再把“借”來的能量”還”回去，這種憑空的能量“借還”是可以允許的，也並沒有違背能量守恆原理，但必須在極短的時間之內進行，因此勢壘貫穿現象能夠穿越的距離也就非常小。 ^[2] 

這種憑空的能量借還的現象也是量子理論中“虛粒子”的產生原因——在極短時間內，真空中某處會突然處於高能狀態，這些能量轉換成一對正粒子和反粒子，然後這對粒子又立刻相互湮滅而消失，這就是“虛粒子”。這就是量子理論對於”真空”的描述，真空中無時不刻地大量出現這種虛粒子。虛粒子對宏觀真空不會產生任何影響，但對於微觀下的量子真空卻有極深遠的意義。

設具有一定能量E的粒子沿x軸正向射向勢壘，按經典力學若

,則粒子將不能進入勢壘，將被彈回去；若

，則粒子將穿過勢壘。

但從量子力學觀點，考慮到粒子的波動性，此問題像波碰到一層厚度為a的介質相似，有一部分波透過，一部分波被反射回去。所以，按量子力學的觀點，因波函數的統計解釋，無論粒子能量

或

，都有一定的幾率穿透勢壘，也有一定的幾率被反射，這就是勢壘貫穿問題，也叫一維散射問題。

本問題與無限保勢阱及一維諧振子的問題不同，在前兩個問題中，在無窮大處

。這使得體系的能級是分立的。但現在的情況是，體系在無窮大處勢能有限（這裏取為0），此時，粒子可以出現在無限遠處，由此使得體系的能量可以取任意值，即組成連續譜，可以預先確定粒子的能量值。

1.

對本問題的討論，按

和

分開討論，是討論

情況，可按三個步驟進行。

（1）寫出體系的定態薛定諤方程，並作適當變換；

（2）進行求解：在求解過程中，注意這裏方程的形式與無限保勢阱時方程的形式一致。但這裏的解用了

的形式，而未用coskx或sinkx的形式。這因為現在的情況是，在無窮大處，粒子應為自由粒子，其波函數應為動量本徵態，即其解為平面波的形式；而無限保勢阱中，是束縛態，其能級作簡併，解的形式應為coskx或sinkx。由此，寫出了三個不同區域的解的形式，而定態函數即為

。

（3）確定上述三個解中的待定係數，這可由物理實際和邊界條件確定。

首先是由解的物理意義確定c：上述三個解的第一項是

的形式，是代表向右（沿x正方向）傳播的平面波，x第二項是

的形式，代表向左傳播的平面波。

在x>a區域內，實際上沒有向左運動的粒子，應令c=0，其次，由邊界條件確定常數。邊界條件是：在x=0和x=a處，

及

（在勢場

在跳躍

的不連續點，仍應保持連續）應連續，由此列出了四個方程，但有五個未知數。但這沒有關係，量子力學中關心的是粒子出現在不同位置的幾率（相對幾率）這裏特別關心給定入射波後，反射波和透射波的情況。即只要關心x<0區域中的反射波和x>a區域中的透射波與入射波的關係，為此，由上述四個方程可確定如下關係：

由此給出了反射波和透射波與入射波的振幅關係，將入射波

，透射波

和反射波

依次代入J公式中的

，分別得到入射波的幾率密度為

僅反射波的幾率流密度為

透射波的幾率流密度為：

，於是

與J之比，即透射係數為

同理可得反射係數R可以驗證R+D=1。

D表示粒子透過勢壘的幾率，R表示粒子波反射回去的幾率，上式正是幾率守恆的表現。

2.

的情況此時，前述

為虛數，只要令

為實數，同理可得R，D0可見，即使

，在一般情況下，也有

。粒子能穿透比其動能更高的勢壘的現象，叫隧道效應，它是粒子具有波動性的表現，這在經典物理中是無法解釋的。

由此可見：勢壘加寬，即a升高或勢壘加高，均有D下降，如果勢壘不是方勢壘，則可以算作是許多方勢壘（寬為dx，高為U(x)）組成的。