加權算術平均法

算術平均預測法是假定前若干期的實際觀測值對未來的預測值有着同等的影響。但在現實經濟活動中，前若干期的不同時期的觀測值對未來預測對象影響是不一樣的，即有些時期的觀測值對未來預測對象的影響大，而另一些時期的觀測值對未來預測值的影響小。為了體現這種不同影響的差別，我們就給不同．時期的觀測值以不同的權數。對於影響大的，則給予的權數大，反之給予的權數小。加權算術平均法就是在N個觀測數據中，每個觀測值根據對未來預測值影響的程度不同，給予不同的權數，將各個時期的觀測值乘以自己的權數，然後將它們的和除以各個權數之和，所得之商就是未來預測值。其數學模型為：

式中：

代表加權算術平均值，即預測值；

Y_i代表不同時期的觀測值(i=1，2，…，n)；

n代表總體中的數據點數；

W_i代表各個觀察值對應的權數，W_i在0到1之間，即0≤W_i≤1。

其相應的標準差為： ^[1] 

加權算術平均法適合於有權數且權數不都相同的資料。

加權算術平均法是算術平均法的一般形式，即權數都相同時亦可用此公式形式。但權數都相同時。還是用簡單算術平均法進行計算更簡捷。如下表：

表中平均每人的日產量為：

（件）；

若用加權算術平均法計算也是34．4件，顯然不如用簡單算術平均法計算起來簡單。

可見，簡單算術平均法是加權算術平均法的一個特例。 ^[2] 

加權算術平均法是進行短期預測時經常採用的一種預測方法．其特點是在預測時充分考慮了各個數據的相對重要性。有以下兩種計算方法：

某車間50名工人某種零件的日產量如下表所示：

讓我們計算工人的平均日產零件數。

平均日產量

（件）

將上述計算方法用符號表示：

式中：

又代表加權算術平均數；

x代表各組標誌值；

f代表各組單位數；

xf代表各組標誌值之和；

∑xf代表總體標誌總量；

∑f代表總體單位總數；

通過上述計算過程可以看出，簡單平均數只受一個因素的影響，即標誌值x的大小的影響。麗加權平均數不但受各標誌值大小的影響，而且還受各組次數多少的影響。各組標誌值出現的次數在平均數的計算中具有權衡輕重的作用。

上例中的權數是絕對數，如果權數是相對數，即次數比重，也可以用次數比重來計算加權平均數，其結果是相同的。但公式要稍加變形：計算如下表所示： ^[3] 

某單位750名職工工資資料如下表所示。讓我們計算該單位的平均工資：

上表資料中，不是由一個變量值作為一個組的單項式數列，而是由表示變量變動範圍的兩個變量值作為一個組的，我們把它叫組距數列。在這種情況下，要先計算出各組的組中值。組中值的計算，是求每組的上限(組內的最大值)與下限(組內的最小值)的中點數值。用組中值代替各組的標誌值，然後計算加權平均數。

應該指出．利用組中值代替各組標誌計算的加權平均數具有一定的假定性，即假定各組內的標誌值是均勻分佈的，但實際上均勻分佈是不可能的，因此，計算的結果只是平均數的近似值。

在組距數列中，如果有的組只有上限沒有下限或只有下限沒有上限。如50以下或100以上這樣的組叫“開口組”。帶有開口組的紐距數列，計算時應先把開口組變為閉口組。然後再按上述方法計算加權平均數。下面我們計算一個題。

例如，1989年10月份的現金收付額資料如下表所示。

計算兩縣1989年10月份各自的平均營業額。提示：①先計算組中值；②再算出各組的業務總量；③最後計算各自的平均營業額。

甲縣業務總量

（萬元）

乙縣業務總量

（萬元）

甲縣各營業所的平均營業額為：

（萬元）

乙縣各營業所的平均營業額為：

（萬元） ^[3]