加伯轉換

將短時距傅立葉變換中的窗函數代入高斯函數，即可得下面的定義。

根據高斯函數會從兩側遞減的性質，我們可以將上式進一步化簡：

讓積分範圍不是無限大，有利於實作。

由於高斯窗函數的寬度可以由其變異數做調整，因此我們將這個參數加入加伯變換的數學式子中 ^[1]  ，讓轉換更加彈性。

改變高斯函數的寬度，和改變方形窗函數短時距傅立葉變換的效果類似。若選取較大的

，高斯窗函數較窄，則時間軸有較高的分辨率，頻率軸的分辨率會下降。反之，若選取較小的

，高斯窗函數較寬，則時間的分辨率下降，頻率軸的分辨率會上升。雖然還是有兩軸之間的分辨率的犧牲，但比起其他無法滿足測不準原理下限的窗函數，加伯變換的兩軸還是能相對維持較高的分辨率。

Gabor表示的離散版本

通過在這些方程中離散Gabor基函數，可以很容易地推導出。由此，連續參數t被離散時間k代替。此外，必須考慮Gabor表示中現在的有限求和極限。以這種方式，採樣信號y（k）被分成長度為N的M個時間幀。根據

，臨界採樣的因子Ω是

類似於DFT（離散傅立葉變換），獲得分成N個離散分區的頻域。然後，這N個頻譜分區的逆變換導致時間窗的N值y（k），其由N個樣本值組成。對於具有N個樣本值的整個M時間窗口，每個信號y（k）包含K = N·M個樣本值:（離散Gabor表示）

根據上面的等式，N·M係數

對應於信號的樣本值K的數量。

對於過採樣

設置為

與N '> N，其導致離散Gabor表示的第二和中的N'> N個求和係數。在這種情況下，獲得的Gabor係數的數量將是M·N'> K.因此，可獲得比樣本值更多的係數，因此將實現冗餘表示。

Gabor變換的主要應用用於時頻分析。以下面的等式為例。當t≤0時，輸入信號具有1Hz頻率分量，當t> 0時，輸入信號具有2Hz頻率分量

但如果可用的總帶寬是5Hz，則除了x(t)之外的其他頻帶被浪費。通過應用Gabor變換進行時頻分析，可以知道可用帶寬，並且可以將這些頻帶用於其他應用並節省帶寬。右側圖片顯示輸入信號x(t)和Gabor變換的輸出。正如我們所期望的那樣，頻率分佈可以分為兩部分。一個是t≤0而另一個是t> 0.白色部分是x(t)佔用的頻帶，不使用黑色部分。注意，對於每個時間點，存在負（上白部分）和正（下白部分）頻率分量。