力迫關係

力迫關係是一種二元關係，指力迫條件與力迫語句之間的關係。通過力迫定理，它又能反映力迫條件對兼納模型中的性質的決定關係。對任意偏序集 P，設 p∈P為一個力迫條件，σ為相關的力迫語言中的一個語句， p 與 σ的力迫關係記為p⊩σ，稱 p 力迫σ，其定義隨力迫法的陳述形式的不同而有較大的差異。

美國數學家科恩(Cohen,P.J.)原來對力迫關係的定義是通過對 σ的結構進行遞歸定義。現代力迫法通常也採用這種方式定義力迫關係。在布爾值模型中，力迫關係定義為 p⊩σ，當且僅當 e(p)≤||σ||，式中 e 表示 P 到 P 的正規開代數 B=r. o. (P) 的規範嵌入，||σ||表示 σ的布爾值。

力迫關係的左變量是一個力迫條件，右變量是力迫語言的句子。

力迫關係具有下列性質:

1.若 p⊩σ， q≤p ，則 q⊩σ。

2.對任何 p∈P，p⊩σ與p⊩⊣σ至多有一個成立.

3.對任何 p∈P，存在 q≤p ，使q⊩σ與 q⊩⊣σ有且僅有一個成立。

4. p⊩⊣σ，當且僅當不存在 q≤p 使q⊩σ 。

5. p⊩σ⋀τ，當且僅當 p⊩σ且 p⊩τ 。

6. p⊢σ⋁τ，當且僅當對任何q≤p，存在 r≥q 使 r⊩σ或 r⊩τ。

由於力迫關係對 ZF 系統的任何模型絕對，因此，它可以在力迫基模型中被定義，由力迫定理可知， ∃p∈G(p ⊩σ)^M，當且僅當 M[G]⊩σ，這説明兼納模型 M[G] 中的性質可以在基模型中通過兼納集G所決定，這是力迫方法的重要特徵。 ^[1] 

力迫關係的重要性在於如下的力迫定理 (forcing theorem)：對任意集合論語言的句子φ，

當且僅當存在

使得

。

藉着力迫定理，泛型擴張M[G] 的性質完全對應於基礎模型 M 上關於力迫關係的性質，從而有可能對M[G] 的性質在 M 中作推斷。 ^[2]