劉徽原理

陽馬居二，鱉腝居一，不易之率也。”即在一個塹堵中，恆有VY∶VB＝2∶1。它是劉徽的多面體體積理論的基礎。

中國傳統數學最重要的著作《九章算術》提出的陽馬（直角四稜錐）體積公式：與鱉腝（四面皆是勾股形的四面體）的體積公式：都是正確的，其中a、b、h分別是它們的寬、長、高。在劉徽之前，人們是取a=b=h=1尺的情形用棊驗法證明的。劉徽指出，在a≠b≠h的情況下，“鱉腝殊形，陽馬異體。然陽馬異體，則不可純合，不純合，則難為之矣”，無法應用棊驗法，因而提出了這個原理。顯然，只要證明了它，由於已知塹堵體積公式：則《九章算術》提出的陽馬、鱉腝的體積公式的正確性是不言而喻的。劉徽採用無窮小分割方法和極限思想證明這個原理。他説：設為陽馬為分內，鱉腝為分外。棊雖或隨修短廣狹，猶有此分常率知，殊形異體，亦同也者，以此而已。其使廣、袤、高各二尺，用塹堵、鱉腝之棊各二，皆用赤棊。又使陽馬之廣、袤、高各二尺，用立方之棊一，塹堵、陽馬之棊各二，皆用黑棊。

棊之赤、黑，接為塹堵，廣、袤、高各二尺。於是中攽其廣、袤，又中分其高。令赤、黑塹堵各自適當一方，高一尺、方一尺，每二分鱉腝，則一陽馬也。其餘兩端各積本體，合成一方焉。是為別種而方者率居三，通其體而方者率居一。雖方隨棊改，而固有常然之勢也。按餘數具而可知者有一、二分之別，即一、二之為率定矣。其於理也豈虛矣。若為數而窮之，置餘廣、袤、高之數各半之，則四分之三又可知也。半之彌少，其餘彌細。至細曰微，微則無形。由是言之，安取餘哉；數而求窮之者，謂以情推，不用籌算。鱉腝之物，不同器用，陽馬之形，或隨修短廣狹。然不有鱉腝，無以審陽馬之數，不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也。劉徽可能受手頭“棊”的限制，仍然使用長、寬、高各一尺的“棊”。然而，他説“方隨棊改，而固有常然之勢”，可見他的分割拼合方式及其結論對任何尺寸的“棊”都是適用的。

因此這裏可按一般情形解釋。劉徽用三個互相垂直的平面平分由陽馬、鱉腝組成的塹堵，那麼陽馬分成1個立方體Ⅰ，2個小塹堵Ⅱ、Ⅲ和2個小陽馬Ⅳ、Ⅴ；鱉腝分成2個小塹堵Ⅱ′、Ⅲ′，2個小鱉腝Ⅳ′、Ⅴ′。它們可以拼合成4個全等的小長方體Ⅰ，Ⅱ–Ⅱ′，Ⅲ–Ⅲ′，Ⅳ–Ⅳ′–Ⅴ–Ⅴ′。顯然，在前3個小長方體即原塹堵的中，屬於陽馬的和屬於鱉腝的體積之比是2∶1。而在第4個小長方體，即原塹堵的中，尚未知，然而構成它的2個小塹堵與原塹堵完全相似，可以重複剛才的分割，則可以證明在其中的中，兩者的體積之比仍是2∶1，而在原塹堵的中仍未知。這種分割拼合可以繼續下去，未知的屬於陽馬的和屬於鱉腝的體積之比的部分越來越小，第n次分割拼合，連同前面的分割拼合，可以證明在原塹堵的中兩者的體積之比是2∶1，而在中仍未知。無限地進行下去，最後必定達到兩者體積之比仍未知的部分為“無形”的地步，即這就在整個塹堵中證明了VY∶VB＝2∶1。完成了證明（見圖）。劉徽進而指出：“不有鱉腝，無以審陽馬之數。

不有陽馬，無以知錐亭之類，功實之主也。”這個結論與現代數學的體積理論完全一致。劉徽將多面體分割成有限個長方體、塹堵、陽馬、鱉腝，求其體積之和，解決多面體問題，從而將多面體理論建立在無窮小分割基礎之上。現代數學大師C.F.高斯、D.希爾伯特等在19世紀才考慮了同類的問題，這就是希爾伯特第三問題的核心。 ^[1]