割圓連比例

1701年，法國耶穌會傳教士杜德美（Pierre Jartoux 1668年至1720年）來到中國，他帶來了由艾薩克·牛頓和J.格雷戈裏創建的三個三角函數無窮級數

這些計算

的“捷法”只涉及乘法和加減運算，速度遠超傳統[[劉徽割圓術]]涉及的平方根計算，因而激起了中國數學家的極大興趣。然而杜德美沒有將推導這些無窮級數的方法帶來中國。明安圖懷疑西方人不願分享他們的秘密，於是他着手進行這項工作，前後歷時30年，完成了書稿《割圜密率捷法》，他在書中創建幾何模型用於獲得三角函數無窮級數，不僅推出杜德美的三個無窮級數，還發現了六個新的無窮級數。在這個過程中，他發現和應用卡塔蘭數。

如圖一 ABC,BCD,CDE,DEF,FDG…… 是一系列相似三角形，於是 ^[1]  。

AB:BC=BC:CD=CD:EF=EF:DF=DF:DG;

AB為第一率，以

表示

BC為第二率，以

表示

BC為第二率，以

表示

CD為第三率，以

表示

DE為第四率，以

表示

EF為第五率，以

表示

FG為第六率，以

表示

……

第m率：

於是：

如圖BCD為全弧，AB=AC=AD=為半徑,令半徑=1；BD為通弦，BC、CD為1/2 分弧。作BG=BC=x,作直線CG;又作DH=DC,連CH直線。因此，

作EJ=EF,FK=FJ；延長BE直線至L，並令EL=BE;作BF=BE,使F在AE線上。連BF延長至M，並BF=MF；連LM，顯然LM通過C點。將三角形BLM以BM為軸反轉成三角形BMN,C點重合G，L點重合N。將三角形NGB以BN為軸反轉至BMI；顯然BI=BC。

作CG之平分線BM，並令BM=BC；連GM、CM；作CO=CM交BM於O;作MP=MO；作NQ=NR，R為BN與AC之交點。∠EBC=1/2 ∠CAE=1/2 ∠EAB;因此∠EBM=∠EAB;於是得到一系列相似三角形：ABE,BEF,FJK,BLM,CMO,MOP,CGH,而且三角形CMO=三角形EFJ;於是得: ^[2] 

*連比第一率:AB=AC=AD=AE

*連比第二率：BE=BC=BF=C

*連比第三率:EF=CM

*連比第四率:FJ

*連比第五率:JK=OP

1:BE=BE:EF；即

於是

,

即

因為 風箏形ABEC 與BLIN相似， ^[2]  。

<

即

:令BL=q

:

:

:

由此得

或

:又

,代人p值得：

,於是

:

:上式平方之，兩邊除以16： ^[3] 

:即

依次類推

> ^[4]  .

將下列二式相加，可以消去

:同理

.......

展開式各項分子的係數 1，1，2，5，14，42，132……（見圖二 明安圖原圖最後一行，由右至左讀）乃是[[卡塔蘭數]],明安圖是發現此數的世界第一人羅見今 《明安圖和他的冪級數展開式》數學傳播34卷1期, pp. 65-73。

因而得到：

。

其中

為 明安圖-卡塔蘭數.

:明安圖利用他首創的遞推關係 ^[5]  ：

代人

:最後得到 ^[5]  。

:

;

在圖一中令BAE角=α，BAC角=2α

明安圖獲得的

:就是正弦倍角和正弦半角度的正弦展開式 ^[5] 

如圖，BE為全弧通弦，BC=CE=DE=a為三等分弧。AB=AC=AD=AE=1 為半徑。連BC、CD、DE、BD、EC；作BG、EH=BC，Bδ=E

α=BD,於是三角形Cαβ=Dδγ；又三角形Cαβ與三角形BδD相似。

因此：

依次類推，最後得：

。

:幾何意義：

明安圖獲得正弦四倍角度三角展開式：

>

:幾何意義：

.

從十分弦開始，明安圖不再作幾何模型，而是對無窮級數進行代數運算

顯然十分弦等於五分弦和二分弦的組合，即 ^[6] 

展開即得：

+…… ^{[6]  [6]} 

同理：

展開後即得：

令 r=1

…………

。