再生核

再生核又稱為重建核，它定量地給出了小波基的相關性和冗餘性。

從小波基函數的定義可以猜想，如果a，τ參數連續變化，得到的小波基將是冗餘的。或者這樣理解：如果在尺度-位移平面上的兩個點

和

很靠近，那麼得到的小波基函數

和

形狀和大小很接近，位置也很靠近，它們具有很強的相關性，而且隨着兩個點的更加靠近，相關性增強，反之則相關性減弱。存在相關性就意味着不正交（因為根據概率論的知識，正交必定不相關），因此就存在着冗餘。

尺度-位移連續變化的小波基函數

形成了一組非正交的過度完全基。其中的“過度”表示這一組基含有冗餘性，“完全”表示這一組基可以完全覆蓋整個尺度一位移平面，這樣，任意一個信號都可以用這些基來分解表示。在 a-τ平面上任意兩點

和

，其對應的小波基函數之間究竟有多大的相關性，這就需要用再生核來描述和刻畫。從再生核的定義式，即

可以看出，式(1)實質上是計算函數內積

，只是比例係數稍有不同。在數學上，內積實質上表示了兩個函數的“相似”程度。如果兩個信號矢量

與

完全垂直，那麼內積

再生核

表示兩個信號矢量完全不相關。如果矢量

與

完全平行，那麼內積

和再生核

都分別取得最大值，表示兩個信號矢量完全相關。式(1)中的係數為

表徵了a-τ平面上任意兩點對應的小波基函數之間的相關性，此外，

也可以表徵連續小波變換系數

和

之間的相關性大小。如果變換系數之間有一定的相關性（不正交），就可能從其中一個變換系數恢復（或再生）出另外一個變換系數，因此，再生核的稱謂由此得來。實際上，要完全準確恢復出

，僅僅依靠

是不夠的，通過

只能提供部分恢復信息，如果將

的“部分貢獻”表示為

的完全準確恢復需要a-τ平面上無數個類似於

的點的共同貢獻才能完成，這種無限多個貢獻的累積就歸結為a-τ平面上的二維積分，即

式(4)稱為重建核方程（或再生核方程）。 ^[1]