共軛點

共軛點是一類特殊的點。指數映射的奇點的像。

設 M 是完被黎曼流形，

指數映射

的奇異點

稱為 x 的（切）共軛點。奇異值

稱為點 x 沿測地線

共軛點。點 x 的共軛點點集合稱為點 x 點共軛軌跡（相應地，有點x 的（切）共軛軌跡）。根據定義，

，使得

若

是點 x 的一個（切）共軛點，則

是

的子空間，其維數稱為共軛點

的重數，或稱為（切）共軛點 v 點階。

共軛點的判斷準則是：是

是點

沿着連接 x 和 p 點測地線γ 的共軛點，當且僅當存當沿γ 定義和非零雅可比場 J，使得 J 在兩端 x，p 的值為零。

於是，黎曼流形上兩個點的共軛關係是對稱的，即：若點 p 是 x 點共軛點，則 x 也是 p 的共軛點。在從 x 引出的測地線γ 上存在點x 的共軛點，破壞了該測地線作為最短線的性質。

確切地説，若在測地線段

的內部含有點

沿γ 的共軛點，則該測地線段不是連結 x 和

的最短測地線。根據共軛點的判斷準則，共軛點的存在性與黎曼流形的截面曲率有關。若 M 的截面曲率恆非正，則 M 上任意一點都沒有共軛點。若完備黎曼流形 M 的裏奇曲率有正的下界，則 M 上任意一點 x 沿着從 x 出發的每一條測地線上都有共軛點。

若完備黎曼流形 M 在點 x 點共軛軌跡是空集，則指數映射

是可微同胚，即 M 可微同胚於歐氏空間

。 ^[1]