共軛映射

設V，W都是Ω上的有限維內積空間。若σ是V到W的一個線性映射，則恰有W到V的一個線性映射σ*與之對應，叫作σ的共軛映射，使對任意

，有

設

是V的一個標準正交基底，對任意

，定義

易驗證σ*是W到V的一個線性映射，對任意

，又因

，於是有

設

，若對任意

都有

，則

。於是，若

對任意

都有

，則

_。對稱地，設

，若對任意

都有

，則

；若對任意

都有

，則

_。則由此可説明σ*的唯一性_。

證明完畢。

顯然有

，從而可以説σ與σ*互為共軛映射。 ^[1] 

設

與

分為Ω上內積空間V與W的標準正交基底，則當

時有

其中A*為矩陣A的共軛轉置矩陣，即

。 ^[1] 

記

而σ*在

與

下對應的

，於是有

從而有

於是有

，證明完畢。

1.設σ是Ω上有限維內積空間V的線性變換，如果

，則説σ是規範的，如果

，則説σ是自共軛的，而當Ω為實數域時説σ是對稱的，當Ω為複數域時説σ是Hermite的，如果σ可逆且

，則當Ω為實數域時説σ是正交變換，而當Ω為複數域時説σ是U變換。

系設

是Ω上內積空間y的一個標準正交基底，σ是V的一個線性變換，

，

則：

（1）σ為規範的充分必要條件是

，此時稱矩陣A是規範的。

（2）σ為對稱（Hermite）的充分必要條件是

，當Ω為複數域時稱A為Hermite的。

（3）σ為正交（U）的充分必要條件是

。

2.設A為一規範矩陣，其第r行元素除對角線元素外都為零，則第r列元素也是這樣。

3.設σ為n維內積空間v的一個線性變換，則下列條件等價：

（1）σ是正交（U）變換；

（2）σ在V的任意標準正交基底下對應正交(U)矩陣；

（3）σ把V的每個標準正交基底都變成標準正交基底；

（4）σ不變向量的長度；

（5）σ不變向量的內積。 ^[1] 

設F是一個域，Ω是F的一個代數閉包。K是擴張Ω/F的一箇中間域。K到Ω內的一個，F-同態單射叫做K到Ω內的一個F-共軛映射，簡稱為F-共軛。設

是一個F-共軛。那麼σ(K)也是Ω/F的一箇中間域，並且σ(K)與K是F-共軛的。

令A是K到Ω內的一切F-共軛所成的集。我們把A的基數（K的F-共軛的個數）記作

。

不依賴於代數閉包Ω的選取。事實上，設Ω和Ω’都是F的代數閉包並且都包含K。那麼存在F-同構映射

。令A和A’分別是K到Ω內的F-共軛和K到Ω’內的F-共軛所成的集。對於任意

，則

。反過來，對於任意

，則

。因此，

是A到A’的雙射，從而

。因此，對於代數擴張K/F來説，我們任意取定F的一個包含K的代數閉包Ω，而把K到Ω內的F-共軛的個數記作

。 ^[2]