全正元

全正元(totally positive element)是序域中的特殊元素。屬於域中所有正錐之交的元。域F的非零元，它關於F的每個序都是正的，或者説屬於F的每個正錐。全正元有如下的刻畫：0≠a∈F是個全正元，當且僅當a可表成F中一些元素的平方和。 ^[2] 

設F是域K的子集，對於K的加法和乘法運算，F也做成一個域，則稱F是K的一個子域，K是F的一個擴域，記作K/F，稱K/F為一個域擴張。設，E/F和K/E都是域擴張，則稱E是K/F的一箇中間域。設F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中間域的交仍是K/F的中間域，這個域記作F(T)，稱為F添加T所得到的擴域，或稱T在F上生成的域。當T= {t₁，…，t_n} 是K的有限子集時，記F(T)=F(t₁，…，t_n)，稱這個域是在F上有限生成的。特別地，添加一個元素t於F中而得到的擴域F(t)稱為F的單擴域。域F的擴域K可以看成F上的向量空間，如果K在F上的維數是有限的，則稱K是F的有限次擴域，K/F是有限次域擴張。K在F上的維數記作〔K：F〕，稱為K在F上的次數。設E是域擴張K/F的中間域，則〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一個域沒有真子域，就稱為一個素域，在同構的意義下，只有有理數域Q和以素數p為模的剩餘類環Z/(p)是素域。任何一個域F的一切子域的交F₀是一個素域，如果F₀≌Q，則稱F是特徵零的，如果F₀≌Z/(p)，則稱F是特徵p的，F的特徵記作CharF。設F是域K的子域，α∈K稱為F上的代數元，如果存在F上的非零多項式f(x)，使得f(α)=0，否則，則稱α是F上的超越元。設K/F是一個域擴張，如果K的每個元都是F上的代數元，則稱K/F是代數擴張，否則稱K/F為超越擴張。設K/F是一個域擴張，設A是K中在F上的代數元的全體，則A是K/F的中間域，稱F在K中的代數閉包。一個域K稱為是代數閉域，如果K〔x〕中每個次數大於零的多項式在K中有一個根。域F的一個擴域Ω稱為F的代數閉包，如果 (1)Ω是代數閉域;(2)Ω是F的代數擴域。任何一個域都有一個代數閉包。設E，E′都是域F的擴域，如果E，E′都域F的某個擴域的子域，而且存在E到E′的同構使F中的元不動 (稱為F-同構)，則稱E與E′在F上共軛，簡稱F-共軛。設E/F是一個域擴張，如果E/F是代數擴張，而且任意與E是F-共軛的域都等於E，則稱E/F是正規擴張。設F是一個域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的擴域，在K[x]中，f(x)=a(x-a₁) …(x-a_n)，a∈F，a₁，…，a_n∈K，而且K=F(a₁，…，α_n)，則稱K是f(x)在F上的一個分裂域。域F上的次數大於零的多項式f(x)，如果在F的某個代數閉包Ω內的根都是單根，則稱f(x)是可分的，否則就是不可分的。a是域F上的代數元，a滿足的最高次項係數為1的最低的多項式稱為a的極小多項式。設K/F是一個代數擴張，如果K的每個元素在F上的極小多項式都是可分的，則稱K/F是一個可分擴張。只含有限個元素的域稱為有限域，有限域的特徵必是某個素數p。設F含有q個元素，F的素域p含有p個元素，[F： P] =f，則q=p_f。兩個有限域同構當且僅當它們有相同的元素個數。設F_g是含有q個元素的有限域，F_g的一切非零元素對於F_g的乘法做成q-1階循環羣，從而有限域的有限次擴域都是單擴域。 ^[3] 

一種特殊的域。它是有序結構的域。一個域F，若在它的元素之間存在一個二元關係>，滿足下述條件：

1.對於任意a∈F，必有a=0或a>0或-a>0三者之一成立(0指F的零元)；

2.從a>0，b>0可導出a+b>0及ab>0；

則稱>是F的一個序，帶有序>的域F稱為序域，記以(F，>)。凡是能在其中規定序的域，就稱為可序的，或稱可序域。在實數域R和有理數域Q中，通常的大小關係就給出它們的一個序。因此R和Q都是可序域，而且，它們只能有這樣給出的序。不過，並非所有的可序域都只有惟一的序。

域論的重要概念。它是與序可轉換的域中的特殊子集。域F的子集P，若滿足下列條件：

1.P∪-P=F;

2.P∩-P={0};

3.P+PP;

4.P·PP;

則稱P為F的正錐。域的正錐和序是兩個可以互相轉換的概念。給定F的一個序<，子集P={a∈F|a>0或a=0}就是F的一個正錐；反之，從一個正錐P，設a<b當且僅當b-a∈P，且b-a≠0，就定出F的一個序<。

正錐是偏序羣的正元素集。若G是偏序羣，則G的正元素集G={g∈G|g>0}及G的負元素集G={g∈G|g<0}分別稱為G的正錐及負錐。G滿足如下條件：

1.G+GG.

2.G∩-G=G∩G={0}.

3.對任意a∈G有a+G-aG.

反之，若P是羣G的子集，G的運算記為+，且P滿足條件1，2，3，對任意x，y∈G，定義x>y當且僅當x-y∈P，則由P可誘導出G的一個序，使G成為偏序羣，且P=G.於是，一個偏序羣的序完全由滿足上述條件的子集P所確定，因此，亦稱P是G的一個序。 ^[4]