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全概率公式
鎖定
內容:如果事件B1、B2、B3…Bi構成一個完備事件組,即它們兩兩互不相容,其和為全集;並且P(Bi)大於0,則對任一事件A有
P(A)=P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bi)P(Bi)。
所謂全概率公式就是將“全”部概率P(A)劃分成很多部分的和。理論和實用意義在於:在較複雜的情況下直接算P(A)不容易,但是A總是隨着某個Bi出現,適當去構造這一組Bi往往可以簡化計算。
- 中文名
- 全概率公式
- 外文名
- Total Probability Theorem
- 簡 介
- 概率論中的重要公式
- 屬 性
- 數學理論
- 範 圍
- 概率論
目錄
- 1 定義
- 2 應用舉例
- 3 全概率公式和Bayes公式
全概率公式定義
定理
若事件A1,A2,…構成一個完備事件組且都有正概率,則對任意一個事件B,有如下公式成立:
P(B)=P(BA1)+P(BA2)+...+P(BAn)=P(B|A1)P(A1) + P(B|A2)P(A2) + ... + P(B|An)P(An).
此公式即為全概率公式。
特別地,對於任意兩隨機事件A和B,有如下成立:
其中A和B為對立事件。
全概率公式應用舉例
我們來看一個簡單的例子:
例:高射炮向敵機發射三發炮彈,每彈擊中與否相互獨立且每發炮彈擊中的概率均為0.3,又知敵機若中一彈,墜毀的概率為0.2,若中兩彈,墜毀的概率為0.6,若中三彈,敵機必墜毀。求敵機墜毀的概率。
解:設事件B=“敵機墜毀”;Ai=“敵機中彈”;i=0,1,2,3
實際上我們從題目知道應該是A0,A1,A2,A3構成完備事件組,但是敵機墜毀只和A1,A2,A3有關,即
全概率公式全概率公式和Bayes公式
概率論的一個重要內容是研究怎樣從一些較簡單事件概率的計算來推算較複雜事件的概率,全概率公式和Bayes公式正好起到了這樣的作用。對一個較複雜的事件A,如果能找到一伴隨A發生的完備事件組B1、B2```,而計算各個B的概率與條件概率P(A/Bi)相對又要容易些,這是為了計算與事件A有關的概率,可能需要使用全概率公式和Bayes公式。