偏微分算子

微分算子是一類常見而又重要的算子。它是微分方程中研究的核心對象。

設A是由某函數空間E₁到函數空間E₂的映射，f=Au(u∈E₁,f∈E₂)。如果像f在每個點x處的值f(x)由原像u和它的某些導函數在x處的值所決定，則稱A為微分算子。當A還是線性時，稱A是線性微分算子。

是線性微分算子，其中α=(α₁,α₂,...,α_n)為負的整數組，

|α|=α₁+α₂+...+α_n，a_α(x)是定義在n維歐幾里得空間某個開集Ω上的函數。

當n=1時，P(x,D)是常微分算子。

當n≥2時，P(x,D)是偏微分算子。 ^[1] 

微分方程指含有未知函數及其導數的關係式。解微分方程就是找出未知函數。

微分方程是伴隨着微積分學一起發展起來的。微積分學的奠基人Newton和Leibniz的著作中都處理過與微分方程有關的問題。微分方程的應用十分廣泛，可以解決許多與導數有關的問題。物理中許多涉及變力的運動學、動力學問題，如空氣的阻力為速度函數的落體運動等問題，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化學、工程學、經濟學和人口統計等領域都有應用。