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交運算
鎖定
- 中文名
- 交運算
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 格,集合的交,偏序集等
- 類 型
- 數學名詞
交運算關於格的交運算
格(lattice)是一類代數結構,它是建立在偏序集
之上的,由E的任意元素
構造的如下兩個集合
{
且
}及
{
且
},它們作為P的子集均仍為偏序集,一般不一定有最小元或最大元。若對P的任意元素
,
均有最小元,
均有最大元,則稱P為格,並記為
。在格
上,把
和其最小元的對應關係視為一類二元運算,稱為x和y的交,記為
,對稱地,把
和其最大元的對應關係視為x和y的結,記為
。它們是格上最基本的運算,這兩類運算滿足:
1.同一律:
2.交換律:
3.結合律:
4.吸收律:
其中
和z均為E的任意元素,因此格又可視為滿足上述四條規律的代數結構
。
雖然格的理論建立較晚,大約在20世紀30年代左右,但是很快就在解決序集問題和組合問題及代數問題中迅速發展,成為有關研究的有效理論基礎,格理論伴隨擬陣理論的發展就是一個明顯的例證,與一般具有序特徵的代數結構不同的是,格中元素的序特徵不是外在的,而是內在的,這是由於它們的序關係完全可以等價地由格的內在運算來刻畫:
當且僅當
或者
當且僅當
,這也反映了格的交運算與結運算的對稱性。有一些重要的格的例子。例如,
格,這裏
為E的所有子集的構成的集族,而
,其上的結運算
為集x和集y的並集,交運算
為集x和集y的交集。又如,若自然數n的所有正整除數組成集合為E,E的元素
有序關係
當且僅當x能整除y,則偏序集
為格,
為x和y的最小公倍數,
為x和y的最大公約數
[1]
。
交運算集合的交運算
交運算定義
對於任意兩個集合A、B,由所有既屬於A又屬於B的元素構成的集合,稱作A與B的交集,記作
。即:
={
且
}。
交運算舉例説明
例如,
,則
如果集合
,也就是説集合A和B沒有公共元素,則稱A、B不相交。
例如:
交運算圖形表示
集合之間的運算可以用文氏(John Venn英國數學家,1834-1923)圖形象地表示。如圖1所示,用平面上的矩形表示全集
。用矩形內的圓表示
中的任一集合。圖1中陰影部分為
。
由集合交運算的定義可知,交運算有以下性質:
(1) 冪等律:
(2)同一律:
(3)零律:
(4)結合律:
(5)交換律: