補碼

在介紹補碼概念之前，先介紹一下“模”的概念：“模”是指一個計量系統的計數範圍，如過去計量糧食用的鬥、時鐘等。計算機也可以看成一個計量機器，因為計算機的字長是定長的，即存儲和處理的位數是有限的，因此它也有一個計量範圍，即都存在一個“模”。如：時鐘的計量範圍是0~11，模=12。表示n位的計算機計量範圍是

，模=

．“模”實質上是計量器產生“溢出”的量，它的值在計量器上表示不出來，計量器上只能表示出模的餘數。任何有模的計量器，均可化減法為加法運算 ^[3]  。

就是取反後加1。

假設當前時針指向8點，而準確時間是6點，調整時間可有以下兩種撥法：一種是倒撥2小時，即8-2=6；另一種是順撥10小時，8+10=12+6=6，即8-2=8+10=8+12-2(mod 12)．在12為模的系統裏，加10和減2效果是一樣的，因此凡是減2運算，都可以用加10來代替。若用一般公式可表示為：a-b=a-b+mod=a+mod-b。對“模”而言，2和10互為補數。實際上，以12為模的系統中，11和1，8和4，9和3，7和5，6和6都有這個特性，共同的特點是兩者相加等於模。對於計算機，其概念和方法完全一樣。n位計算機，設n=8，所能表示的最大數是11111111，若再加1成100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丟失（相當於丟失一個模）。又回到了 00000000，所以8位二進制系統的模為

。在這樣的系統中減法問題也可以化成加法問題，只需把減數用相應的補數表示就可以了。把補數用到計算機對數的處理上，就是補碼 ^[3]  。

以補碼定義式為基礎，沿數軸列出典型的真值、原碼與補碼錶示，可清楚瞭解補碼的有關性質 ^[3]  。

(1)在補碼錶示中，最高位

(符號位)表示數的正負，在形式上與原碼相同，即 0正 1負。但補碼的符號位是數值的一部分，由補碼定義式計算而得。例如，負小數補碼中

為 1，這個 1是真值

(負)加模 2後產生 ^[3]  。

(2)在補碼錶示中，數 0只有一種表示，[+0]補 =[-0]補 =0.000……0 ^[3]  ．

(3)負數補碼錶示的範圍比原碼稍寬，多一種數碼組合。對於定點數，若為純小數，表示範圍為：

，若為純整數，表示範圍為：

。

求給定數值的補碼分以下兩種情況：

正整數的補碼是其二進制表示，與原碼相同 ^[3]  。

例：+9的補碼是00001001。（備註：這個+9的補碼是用8位2進制來表示的，補碼錶示方式很多，還有16位二進制補碼錶示形式，以及32位二進制補碼錶示形式，64位進制補碼錶示形式等。每一種補碼錶示形式都只能表示有限的數字。）

求負整數的補碼，將其原碼除符號位外的所有位取反（0變1，1變0，符號位為1不變）後加1 ^[4]  。

同一個數字在不同的補碼錶示形式中是不同的。比如-15的補碼，在8位二進制中是11110001，然而在16位二進制補碼錶示中，就是1111111111110001。以下都使用8位2進制來表示。

例：求-5的補碼。

-5對應帶符號位負數5（10000101）→除符號位外所有位取反（11111010）→加 00000001為 (11111011)

所以-5的補碼是11111011。

數0的補碼錶示是唯一的 ^[3]  。

[+0]補=[+0]反=[+0]原=00000000

[ -0]補=11111111+1=00000000

已知一個數的補碼，求原碼的操作其實就是對該補碼再求補碼 ^[3]  ：

⑴如果補碼的符號位為“0”，表示是一個正數，其原碼就是補碼。

⑵如果補碼的符號位為“1”，表示是一個負數，那麼求給定的這個補碼的補碼就是要求的原碼。

例：已知一個補碼為11111001，則原碼是10000111（-7）。

解：因為符號位為“1”，表示是一個負數，所以該位不變，仍為“1”。

其餘七位1111001取反後為0000110；再加1，所以是10000111。

補碼具有如下特點： ^[5] 

1. 最高位為符號位，為0表示這個數是正數，為1表示這個數是負數。

2. 對於正數，[X]_補=[X]_原，即正數的補碼與原碼相同，且能表示的數值範圍也相同。

3. 對於負數，補碼的值等於模減去該數的絕對值，負數的補碼等於該數的反碼加1。

4. 對於零，設n=8，則[+0]_補=00000000，[-0]_補=00000000，0的表示是唯一的，解決了+0和-0的表示問題。

5. 使用補碼錶示，可以將真值的減法運算變為機器中的加法運算，從而使CPU內部不再需要設計減法器，簡化了CPU的設計。

補碼“模”概念的引入、負數補碼的實質、以及補碼和真值之間的關係所揭示的補碼符號位所具有的數學特徵，無不體現了補碼在計算機中表示數值型數據的優勢，和原碼、反碼等相比可表現在如下方面 ^[3]  ：

(1)解決了符號的表示的問題 ^[3]  ；

(2)可以將減法運算轉化為補碼的加法運算來實現，克服了原碼加減法運算繁雜的弊端，可有效簡化運算器的設計 ^[3]  ；

(3)在計算機中，利用電子器件的特點實現補碼和真值、原碼之間的相互轉換，非常容易 ^[3]  ；

(4)補碼錶示統一了符號位和數值位，使得符號位可以和數值位一起直接參與運算，這也為後面設計乘法器除法器等運算器件提供了極大的方便。總之，補碼概念的引入和當時運算器設計的背景不無關係，從設計者角度，既要考慮表示的數的類型(小數、整數、實數和複數)、數值範圍和精確度，又要考慮數據存儲和處理所需要的硬件代價。因此，使用補碼來表示機器數並得到廣泛的應用，也就不難理解了。 ^[3]